资源描述
模块综合检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
2．设函数，则f()的值为( )
A. B．－
C. D.
3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
4．已知f(x)＝(m－1)x2＋3mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－4,2)上为( )
A．增函数 B．减函数
C．先递增再递减 D．先递减再递增
5．三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是( )
A．a<c<b B．a<b<c
C．b<a<c D．b<c<a
6．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间[2,16)内无零点
D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点
7．已知0<a<1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．与a值有关
8．函数y＝1＋ln(x－1)(x>1)的反函数是( )
A．y＝ex＋1－1(x>0) B．y＝ex－1＋1(x>0)
C．y＝ex＋1－1(x∈R) D．y＝ex－1＋1(x∈R)
9．函数f(x)＝x2－2ax＋1有两个零点，且分别在(0,1)与(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．－1<a<1 B．a<－1或a>1
C．1<a< D．－<a<－1
10．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
11．下列4个函数中：
①y＝2 008x－1；
②y＝loga(a>0且a≠1)；
③y＝；
④y＝x(＋)(a>0且a≠1)．
其中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )
A．① B．②③
C．①③ D．①④
12．设函数的集合P＝{f(x)＝log2(x＋a)＋b|a＝－，0，，1；b＝－1,0,1}，平面上点的集合Q＝{(x，y)|x＝－，0，，1；y＝－1,0,1}，则在同始终角坐标系中，P中函数f(x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是( )
A．4 B．6
C．8 D．10
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．计算：0.25×(－)－4＋lg 8＋3lg 5＝________.
14．若规定＝|ad－bc|，则不等式l<0的解集是________．
15．已知关于x的函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是________．
16．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知一次函数f(x)满足：f(1)＝2，f(2)＝3，
(1)求f(x)的解析式；
(2)推断函数g(x)＝－1＋lg f2(x)在区间[0,9]上零点的个数．
18．(12分)已知f(x)＝是定义在[－1,1]上的奇函数，试推断它的单调性，并证明你的结论．
19．(12分)若非零函数f(x)对任意实数a，b均有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且当x<0时，f(x)>1；
(1)求证：f(x)>0；
(2)求证：f(x)为减函数；
(3)当f(4)＝时，解不等式f(x2＋x－3)·f(5－x2)≤.
20．(12分)我市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司预备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)；
(2)选择哪家比较合算？为什么？
21．(12分)已知函数y＝f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：
①f(x)在D上是单调递增或单调递减函数；
②存在闭区间[a，b]D(其中a<b)，使得当x∈[a，b]时，f(x)的取值集合也是[a，b]．那么，我们称函数y＝f(x)(x∈D)是闭函数．
(1)推断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．
(2)若f(x)＝k＋是闭函数，求实数k的取值范围．
(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可)
22．(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax－1.其中a>0且a≠1.
(1)求f(2)＋f(－2)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)解关于x的不等式－1<f(x－1)<4，结果用集合或区间表示．
模块综合检测(B)
1．D [∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又∵A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴即a＝4.否则有冲突．]
2．A [∵f(3)＝32＋3×3－2＝16，
∴＝，
∴f()＝f()＝1－2×()2＝1－＝.]
3．B [由题意得：，∴0≤x<1.]
4．C [∵f(x)＝(m－1)x2＋3mx＋3是偶函数，
∴m＝0，f(x)＝－x2＋3，函数图象是开口向下的抛物线，顶点坐标为(0,3)，f(x)在(－4,2)上先增后减．]
5．C [20.3>20＝1＝0.30>0.32>0＝log21>log20.3.]
6．C [函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内，故函数f(x)在区间[2,16)内无零点．]
7．A [分别画出函数y＝a|x|与y＝|logax|的图象，通过数形结合法，可知交点个数为2.]
8．D [∵函数y＝1＋ln(x－1)(x>1)，
∴ln(x－1)＝y－1，x－1＝ey－1，y＝ex－1＋1(x∈R)．]
9．C [∵f(x)＝x2－2ax＋1，
∴f(x)的图象是开口向上的抛物线．
由题意得：即解得1<a<.]
10．B [由题意x0为方程x3＝()x－2的根，
令f(x)＝x3－22－x，∵f(0)＝－4<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，
∴x0∈(1,2)．]
11．C [其中①不过原点，不行能为奇函数，也不行能为偶函数；③中定义域不关于原点对称，则既不是奇函数，又不是偶函数．]
12．B [当a＝－，f(x)＝log2(x－)＋b，∵x>，
∴此时至多经过Q中的一个点；
当a＝0时，f(x)＝log2x经过(，－1)，(1,0)，
f(x)＝log2x＋1经过(，0)，(1,1)；
当a＝1时，f(x)＝log2(x＋1)＋1经过(－，0)，(0,1)，
f(x)＝log2(x＋1)－1经过(0，－1)，(1,0)；
当a＝时，f(x)＝log2(x＋)经过(0，－1)，(，0)
f(x)＝log2(x＋)＋1经过(0,0)，(，1)．]
13．7
解析 原式＝0.25×24＋lg 8＋lg 53＝(0.5×2)2×22＋lg(8×53)＝4＋lg 1 000＝7.
14．(0,1)∪(1,2)
解析 ＝|x－1|，由log|x－1|<0，得0<|x－1|<1，
即0<x<2，且x≠1.
15．(1,2)
解析 依题意，a>0且a≠1，∴2－ax在[0,1]上是减函数，
即当x＝1时，2－ax的值最小，又∵2－ax为真数，
∴，解得1<a<2.
16．(－∞，－1)
解析 当x>0时，由1－2－x<－，()x>，明显不成立．
当x<0时，－x>0.
由于该函数是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝2x－1.
由2x－1<－，即2x<2－1，得x<－1.
又由于f(0)＝0<－不成立，
所以不等式的解集是(－∞，－1)．
17．解 (1)令f(x)＝ax＋b，由已知条件得
，解得a＝b＝1，
所以f(x)＝x＋1(x∈R)．
(2)∵g(x)＝－1＋lg f2(x)＝－1＋lg (x＋1)2在区间[0,9]上为增函数，且g(0)＝－1<0，
g(9)＝－1＋lg 102＝1>0，
∴函数g(x)在区间[0,9]上零点的个数为1个．
18．解 ∵f(x)＝是定义在[－1,1]上的奇函数，
∴f(0)＝0，即＝0，∴a＝0.
又∵f(－1)＝－f(1)，∴＝－，
∴b＝0，∴f(x)＝.
∴函数f(x)在[－1,1]上为增函数．
证明如下：
任取－1≤x1<x2≤1，
∴x1－x2<0，－1<x1x2<1，
∴1－x1x2>0.
∴f(x1)－f(x2)＝－
＝＝
＝<0，
∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)为[－1,1]上的增函数．
19．(1)证明 f(x)＝f(＋)＝f2()≥0，
又∵f(x)≠0，∴f(x)>0.
(2)证明 设x1<x2，则x1－x2<0，
又∵f(x)为非零函数，
∴f(x1－x2)＝＝
＝>1，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)为减函数．
(3)解 由f(4)＝f2(2)＝，f(x)>0，
得f(2)＝.
原不等式转化为f(x2＋x－3＋5－x2)≤f(2)，
结合(2)得：
x＋2≥2，∴x≥0，
故不等式的解集为{x|x≥0}．
20．解 (1)f(x)＝5x,15≤x≤40；
g(x)＝.
(2)①当15≤x≤30时，5x＝90，x＝18，
即当15≤x<18时，f(x)<g(x)；
当x＝18时，f(x)＝g(x)；
当18<x≤30时，f(x)>g(x)．
②当30<x≤40时，f(x)>g(x)，
∴当15≤x<18时，选甲家比较合算；
当x＝18时，两家一样合算；
当18<x≤40时，选乙家比较合算．
21．解 (1)f(x)＝－x3在R上是减函数，满足①；
设存在区间[a，b]，f(x)的取值集合也是[a，b]，则，解得a＝－1，b＝1，
所以存在区间[－1,1]满足②，
所以f(x)＝－x3(x∈R)是闭函数．
(2)f(x)＝k＋是在[－2，＋∞)上的增函数，
由题意知，f(x)＝k＋是闭函数，存在区间[a，b]满足②
即：.
即a，b是方程k＋＝x的两根，化简得，
a，b是方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根．
且a≥k，b>k.
令f(x)＝x2－(2k＋1)x＋k2－2，得，
解得－<k≤－2，
所以实数k的取值范围为(－，－2]．
22．解 (1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝a－x－1.
由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，
∵f(－x)＝a－x－1，
∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．
∴所求的解析式为f(x)＝.
(3)不等式等价于
或，
即或.
当a>1时，有或，留意此时loga2>0，loga5>0，
可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)．
同理可得，当0<a<1时，不等式的解集为R.
综上所述，当a>1时，
不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)；
当0<a<1时，不等式的解集为R.
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