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课时提升作业(十二)
函数模型及其应用
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·宁波模拟)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=aent,假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟后甲桶中的水只有a8升,则m的值为( )
A.8 B.10 C.12 D.15
【解析】选B.由已知条件可得ae5n=a2,e5n=12.
由aent=a8,得ent=18,所以t=15,m=15-5=10.
2.(2022·南昌模拟)如图,正方形ABCD的顶点A0,22,B22,0,顶点C,D位于第一象限,直线l:x=t(0≤t≤2)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数S=f(t)的图象大致是( )
【解析】选C.f(t)增长的速度先快后慢,故选C.
3.某厂有很多外形为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为( )
A.x=15,y=12 B.x=12,y=15
C.x=14,y=10 D.x=10,y=14
【思路点拨】利用三角形相像列出x与y的关系式,用y表示x.从而矩形面积可表示为关于y的函数.
【解析】选A.由三角形相像得24-y24-8=x20,
得x=54(24-y),由0<x≤20得,8≤y<24,
所以S=xy=-54(y-12)2+180,
所以当y=12时,S有最大值,此时x=15.
4.(2022·温州模拟)某商场宣扬在“五一黄金周”期间对顾客购物实行确定的优待,商场规定:
①如一次性购物不超过200元,不予以折扣;
②如一次性购物超过200元但不超过500元的,按标价赐予九折优待;
③如一次性购物超过500元,其中500元赐予九折优待,超过500元的部分赐予八五折优待.
某人两次去购物,分别付款176元和432元,假如他只去一次购买同样的商品,则应付款( )
A.608元 B.574.1元
C.582.6元 D.456.8元
【解析】选C.设一次性购物总标价为x元,依据题意,应付款y=x(x≤200),0.9x(200<x≤500),0.9×500+0.85(x-500)(x>500),
付款176元时没有折扣.付款432元时标价为432÷0.9=480(元).
故两次购物的标价为176+480=656(元).
500×0.9+(656-500)×0.85=582.6(元).
5.(2022·北京模拟)在半径为R的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是( )
A.239πR3 B.439πR3
C.233πR3 D.49πR3
【解析】选A.设圆柱的高为h,则圆柱的底面半径为R2-h2,圆柱的体积为
V=π(R2-h2)h=-πh3+πR2h(0<h<R),V′=-3πh2+πR2=0,h=R3时V有最大值为
V=239πR3.
6.(2022·杭州模拟)一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案,如图所示,设小矩形的长、宽分别为x,y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,记y=f(x),则y=f(x)的图象是( )
【思路点拨】先依据已知构建函数y=f(x)解析式,再结合图象作出选择.
【解析】选A.由题意知,xy=10,即y=10x,且2≤x≤10.
【加固训练】一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.
给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水也不出水.则确定正确的是( )
A.① B.①②
C.①③ D.①②③
【解析】选A.由丙图知0点到3点蓄水量为6,故应两个进水口进水,不出水,故①正确.
由丙图知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位,故1个进水1个出水,故②错误.
由丙图知4点到6点蓄水量不变,故可能不进水也不出水或两个进水一个出水,故③错误.
7.(2022·郑州模拟)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则其次次服药最迟的时间应为( )
A.上午10:00 B.中午12:00
C.下午4:00 D.下午6:00
【解析】选C.当x∈[0,4]时,设y=k1x,
把(4,320)代入,得k1=80,所以y=80x.
当x∈[4,20]时,设y=k2x+b.
把(4,320),(20,0)代入得4k2+b=320,20k2+b=0,
解得k2=-20,b=400.
所以y=400-20x.
所以y=f(x)=80x,0≤x≤4,400-20x,4<x≤20.
由y≥240,
得0≤x≤4,80x≥240或4<x≤20,400-20x≥240.
解得3≤x≤4或4<x≤8,
所以3≤x≤8.
故其次次服药最迟应在当日下午4:00.
【方法技巧】求解由图象给出函数模型解决实际问题的技巧
对于函数模型由函数图象给出的实际问题,求解时应依据图象的外形,找到相应的函数模型,用待定系数法求得解析式,再运用该解析式解决实际问题.
8.(力气挑战题)如图,A,B,C,D是某煤矿的四个采煤点,m是大路,图中所标线段为道路,ABQP,BCRQ,CDSR近似于正方形.已知A,B,C,D四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的质量都成正比.现要从P,Q,R,S中选出一处设立一个运煤中转站,使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少,则地点应选在( )
A.P点 B.Q点 C.R点 D.S点
【思路点拨】分别求出地点选在P,Q,R,S时,四个采煤点的煤运到中转站的费用,然后比较即可.
【解析】选B.依据题意设A,B,C,D四个采煤点每天所运煤的质量分别为5x,x,2x,3x,正方形的边长为l(l>0).运煤的费用与运煤的路程、所运煤的质量都成正比,比例系数为k,k>0,则地点选在点P,其运到中转站的费用为k(5xl+2xl+6xl+12xl)=25kxl;
地点选在点Q,其运到中转站的费用为k(10xl+xl+4xl+9xl)=24kxl;
地点选在点R,其运到中转站的费用为k(15xl+2xl+2xl+6xl)=25kxl;
地点选在点S,其运到中转站的费用为k(20xl+3xl+4xl+3xl)=30kxl.
综上可知地点应选在Q,煤运到中转站的费用最少.
【误区警示】本题易因不能精确确定采煤点和中转站的路程关系而导致错误.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k= ,经过5小时,1个病毒能繁殖为 个.
【解析】由已知得2=ek2,
所以k2=ln2,即k=2ln2,
当t=5时,y=e(2ln2)×5=eln210=210=1024.
答案:2ln2 1024
10.(2022·衢州模拟)一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为V1,则函数V1=f(h)的大致图象可能是图中的 .
【解析】当h=0时,V1=0可排解①③;由于鱼缸中间粗两头细,所以当h在H2四周时,体积变化较快;h小于H2时,体积增加越来越快;h大于H2时,体积增加越来越慢.
答案:②
11.如图,书的一页的面积为600cm2,设计要求书面上方空出2cm的边,下、左、右方都空出1cm的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为 .
【思路点拨】设这页书的长为xcm,依据面积为600cm2将宽用x表示,再将中间文字部分的面积S用x表示,进而求函数最值.
【解析】设这页书的长为xcm,宽为ycm,则xy=600,
所以y=600x,则中间文字部分的长为:x-2-1=(x-3)cm,
宽为:y-2=600x-2cm,
所以其面积S=(x-3)600x-2
=606-2x+900x.
又x-3>0,600x-2>0,解得3<x<300,
所以S≤606-2×2x·900x=486,
当且仅当900x=x,即x=30时,Smax=486,
此时y=20.
答案:30cm,20cm
12.(力气挑战题)某医院为了提高服务质量,对挂号处的排队人数进行了调查,发觉:当还未开头挂号时,有N个人已经在排队等候挂号;开头挂号后排队的人数平均每分钟增加M人.假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人,当开放一个窗口时,40分钟后恰好不会毁灭排队现象;若同时开放两个窗口时,则15分钟后恰好不会毁灭排队现象.依据以上信息,若要求8分钟后不毁灭排队现象,则需要同时开放的窗口至少应有 个.
【解析】设要同时开放x个窗口才能满足要求,
则N+40M=40K, ①N+15M=15K×2,②N+8M≤8Kx.③
由①②,得K=2.5M,N=60M.
代入③,得60M+8M≤8×2.5Mx,
解得x≥3.4.
故至少同时开放4个窗口才能满足要求.
答案:4
【加固训练】(2022·福建高考)某地区规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,点表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如,在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的线路图如图1,则最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用为10.
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,则铺设道路的最小总费用为 .
【解析】依据题目中图3给出的信息及题意,要求的是铺设道路的最小总费用,且从任一城市都能到达其余各城市,可将图3调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用).
此时铺设道路的总费用为2+3+1+2+3+5=16.
答案:16
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=2(1-kt)(x-b)2,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.
(1)试确定k,b的值.
(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.
【解析】(1)由已知1=2(1-0.75k)(5-b)2,2=2(1-0.75k)(7-b)2
⇒(1-0.75k)(5-b)2=0,(1-0.75k)(7-b)2=1.
解得b=5,k=1.
(2)当p=q时,2(1-t)(x-5)2=2-x,
所以(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+x(x-5)2
=1+1x+25x-10.
而f(x)=x+25x在(0,4]上单调递减,
所以当x=4时,f(x)有最小值414,
故当x=4时,关税税率的最大值为500%.
【误区警示】本题在对f(x)=x+25x求最小值时,易误为f(x)≥2x·25x=10,缘由是忽视了该函数的定义域(0,4],而用基本不等式求最小值.
14.(2022·湖州模拟)某校同学社团心理学争辩小组在对同学上课留意力集中状况的调查争辩中,发觉其留意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.依据专家争辩,当留意力指数p大于等于80时听课效果最佳.
(1)试求p=f(t)的函数关系式.
(2)老师在什么时段内支配核心内容能使得同学听课效果最佳?请说明理由.
【解析】(1)t∈(0,14]时,
设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),
将(14,81)代入得c=-14,
t∈(0,14]时,p=f(t)=-14(t-12)2+82;t∈[14,40]时,将(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=13,
所以p=f(t)=-14(t-12)2+82,t∈(0,14],log13(t-5)+83,t∈(14,40].
(2)t∈(0,14]时,由-14(t-12)2+82≥80,
解得12-22≤t≤12+22,
所以t∈[12-22,14],
t∈(14,40]时,由log13(t-5)+83≥80,
解得5<t≤32,
所以t∈(14,32],所以t∈[12-22,32],
即老师在t∈[12-22,32]时段内支配核心内容能使得同学听课效果最佳.
15.(力气挑战题)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业方案支配200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).
(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间.
(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.
【解析】(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有T1(x)=2×3 0006x=1 000x,T2(x)=2 000kx,
T3(x)=1 500200-(1+k)x.
其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.
(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为x0<x<2001+k,x∈N*.
易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.留意到T2(x)=2kT1(x),于是
①当k=2时,T1(x)=T2(x),此时
f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max1 000x,1 500200-3x.
由函数T1(x),T3(x)的单调性知,
当1 000x=1 500200-3x时f(x)取得最小值,
解得x=4009.
由于44<4009<45,而f(44)=T1(44)=25011,f(45)=T3(45)=30013,f(44)<f(45),
故当x=44时完成订单任务的时间最短,且最短时间为f(44)=25011.
②当k>2时,T1(x)>T2(x),由于k为正整数,故k≥3,此时
1 500200-(1+k)x≥1 500200-(1+3)x=37550-x.
记T(x)=37550-x,φ(x)=max{T1(x),T(x)},
易知T(x)是增函数,则
f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}
=φ(x)=max1 000x,37550-x.
由函数T1(x),T(x)的单调性知,
当1 000x=37550-x时φ(x)取最小值,
解得x=40011.
由于36<40011<37,
而φ(36)=T1(36)=2509>25011, φ(37)
=T(37)=37513>25011,
此时完成订单任务的最短时间大于25011.
③当k<2时,T1(x)<T2(x),
由于k为正整数,故k=1,此时
f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max2 000x,750100-x.
由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当2 000x=750100-x时f(x)取最小值,解得x=80011,类似①的争辩,此时完成订单任务的最短时间为2509,大于25011.
综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.
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