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第九章 9.4第4课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )
A．(－2，2) B．(－，)
C．(－，) D．(－，)
答案 C
解析 设l的方程y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
圆心为(1,0)．由已知有<1，∴－<k<.
2．直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
答案 B
解析 圆心到直线的距离d＝＝2.
所以直线与圆相切．
3．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为( )
A.－1 B．2－
C. D.－1与＋1
答案 A
解析 如图，圆心(2,1)到直线l0：x－y＋1＝0的距离d＝＝，圆的半径为1，故直线l0与l1的距离为－1，
∴平移的最短距离为－1，故选A.
4．已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4；O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，那么两圆的位置关系是( )
A．内含 B．内切
C．相交 D．外切
答案 C
解析 由两圆方程易知其圆心坐标分别为O1(a，b)、O2(a＋1，b＋2)，经计算得：O1O2＝，由于R－r＝1<O1O2＝<R＋r＝3，故两圆相交．
5．函数y＝f(x)的图象是圆心在原点的单位圆在Ⅰ、Ⅲ象限内的两段圆孤，如图，则不等式f(x)<f(－x)＋2x的解集为 ( )
A．(－1，－)∪(0，)
B．(－1，－)∪(，1)
C．(－，0)∪(0，)
D．(－，0)∪(，1)
答案 D
6．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2
C. D．3
答案 C
解析
设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，
则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，
|PQ|＝＝，要使|PQ|最小，即求|PM|最小，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2，
∴|PM|最小值为2，|PQ|＝＝＝，选C.
7．若圆O1方程为：(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝0，圆O2方程为：(x－3)2＋(y－2)2－1＝0，则方程(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝(x－3)2＋(y－2)2－1表示的轨迹是( )
A．线段O1O2的中垂线
B．过两圆的公切线交点且垂直于线段O1O2的直线
C．两圆公共弦所在的直线
D．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等
答案 D
解析 ∵圆心距|O1O2|＝＝5>2＋1＝3，∴两圆相离．
把所给的轨迹方程化简得4x＋3y－7＝0
明显线段O1O2的中点不在直线4x＋3y－7＝0上，排解A、C，由计算知，到两圆的切线长相等的点的轨迹恰为直线4x＋3y－7＝0.
8．已知圆C：x2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(2，a)，从A点观看B点，要使视线不被圆C拦住，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
答案 C
解析 解法一：(直接法)写出直线方程，将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决．
过A、B两点的直线方程为y＝x＋，
即ax－4y＋2a＝0，
则d＝＝1，化简后，得3a2＝16，解得a＝±.再进一步推断便可得到正确答案为C.
解法二：
设AB1直线方程为⇒(1＋k2)x2＋4k2x＋4k2－1＝0，Δ＝0，k＝±，
直线AB1方程为y＝(x＋2)，直线AB2方程为y＝－(x＋2)，可得B1(2，)，B2(2，－)，要使从A看B不被圆拦住，B纵坐标即实数a的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．
9．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是( )
A．(4,6) B．[4,6)
C．(4,6] D．[4,6]
答案 A
二、填空题
10．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|(其中O为坐标原点)，则实数a等于________．
答案 ±2
解析 由|＋|＝|－|知OA⊥OB，所以由题意可得＝，所以a＝±2.
11．过点M(1,2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l的方程为________．
答案 x－2y＋3＝0
解析 设圆心为N(2,0)，由圆的性质得直线l⊥MN时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l的方程为x－2y＋3＝0.
12．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是________．
答案 [－，0]
解析 如图，记题中圆的圆心为C(3,2)，作CD⊥MN于D，则|CD|＝，于是有|MN|＝2|MD|＝2＝2≥2，即4－≥3，解得－≤k≤0.
13．若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个公共点，则b取值范围是__________．
答案 －1＜b≤1或b＝－
解析 x＝⇔x2＋y2＝1(x≥0)
方程x2＋y2＝1(x≥0)所表示的曲线为半圆(如图)
当直线与圆相切时或在l2与l3之间时，适合题意．
三、解答题
14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的确定值相等，求此切线的方程．
解析 ∵切线在两坐标轴上截距的确定值相等，
∴切线的斜率是±1.
设切线方程为y＝－x＋b或y＝x＋c，分别代入圆C的方程得2x2－2(b－3)x＋(b2－4b＋3)＝0
或2x2＋2(c－1)x＋(c2－4c＋3)＝0，
由于相切，则方程有等根，
即b＝3或b＝－1，c＝5或c＝1.
故所求切线方程为：
x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.
15．已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点．
(1)求圆C的方程；
(2)若·＝－2，求实数k的值；
(3)过点(0,1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．
解 设圆心C(a，a)，半径为r.由于圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，
所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，
所以圆C的方程是x2＋y2＝4.
(2)由于·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且与的夹角为∠POQ，
所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，
所以圆心到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，
又d＝，所以k＝0.
(3)设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.
由于直线l，l1都经过点(0,1)，且l⊥l1，
依据勾股定理，有d＋d2＝1.
又易知|PQ|＝2×，|MN|＝2×，
所以S＝·|PQ|·|MN|，即
S＝×2××2×＝2＝2≤2 ＝2 ＝7，
当且仅当d1＝d时，等号成立，所以S的最大值为7.
老师备选题
1．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y－1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
答案 3－3－
解析 转化为一个圆上的动点到另一个圆圆心距离的最小值．
2．已知：过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证：·为定值；
(3)若O为坐标原点，且·＝12，求k的值．
解析 (1)解法一：∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，
∴直线l的方程为y＝kx＋1.
将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0 ①
由题意：△＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7>0，
得<k<.
解法二：同解法一得直线方程为y＝kx＋1，
即kx－y＋1＝0，
又圆心到直线距离d＝＝，
∴d＝<1，
解得<k<.
(2)设过A点的圆的切线为AT，T为切点，
则|AT|2＝|AM|·|AN|，
|AT|2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7，
∴||·||＝7.
依据向量的运算：
·＝||·||·cos0°＝7为定值．
(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则由①得
∴·＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8＝12
⇒k＝1(代入(1)检验符合题意)．
3．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至多有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．(－∞，2－]
B．[2＋，＋∞)
C．(－∞，2－]∪[2＋，＋∞)
D．[2－，2＋]
答案 C
解析 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0整理为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径为3，要求圆上至多有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则圆心到直线的距离应大于等于，∴ ≥，∴()2＋4()＋1≥0，∴≤－2－或≥－2＋，又l的斜率k＝－，∴k≤2－或k≥2＋，选C.
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