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山西高校附中2022年高三第一学期月考
数学试题（文科）
考查内容：高中全部
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题：对任意的，有，则是（ ）
A．存在，有 B．对任意的，有
C．存在，有 D．对任意的，有
3．若公比为2且各项均为正数的等比数列中，，则的值等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知角的终边过点，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．随着的取值不同其值不同
6．已知直线及平面，则下列命题正确的是 （ ）
A. B. C. D.
7．曲线上的点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为 （ ）
A．（0，0） B．（2，4） C． D．
8．“”是“函数在区间上为增函数”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9. 下列函数中周期是2的函数是 （ ）
A． B．
C． D．
10．椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为的值为 （ ）
A． B． C． D．
11．数列满足，且对于任意的都有则
等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上）．
13．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现接受分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为_______．
14．设实数满足，则的最大值为 ．
15．已知在时有极值0，则的值为 ．
16．已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为___________。
2
2
正视图
侧视图
俯视图
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17．（本小题满分12分）
公差不为零的等差数列中，且成等比数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的通项公式
18．（本题满分12分）已知集合，.
（Ⅰ）在区间上任取一个实数，求“”的概率；
（Ⅱ）设为有序实数对，其中是从集合中任取的一个整数，是从集合中任取的一个整数，求“”的概率．
19．（本小题满分12分）
第19题图
在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积
20．（本小题满分12分）
椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．
21.（本题满分12分）已知，函数
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程.
（Ⅱ) 若，求在闭区间上的最小值.
选做题（在22、23、24三题中任选一题做答）
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲：
如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．
第22题图
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程：
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲：
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
山西高校附中2022年高三第一学期月考
数学试题（文科）答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
C
B
D
D
A
C
A
B
D
13．18 14． 15．-7 16．.
17．（本小题满分12分）
解: (Ⅰ) ． ……6分
(Ⅱ)． ……12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，，……………………2分
又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，
那么，依据题意，点落在上，
∴，易求得，…………4分
∴四边形是平行四边形，∴，∴平面 …………6分
（文） 12分
19解：（Ⅰ）由已知， ，2分
设大事“”的概率为，这是一个几何概型，则.…………………6分
（Ⅲ）由于，且，
所以，基本大事共12个：，，，，，，，，，，，. …………………2分
设大事为“”，则大事中包含9个基本大事，…………10分
大事的概率.…………………12分
20. （本小题满分12分）
（Ⅰ）由已知，又，解得，
所以椭圆的方程为；………………4分
(Ⅱ) 依据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，
联立，消去y得，
，
令，解得． ………………7分
设、两点的坐标分别为，
ⅰ）当为直角时，则，
由于为直角，所以，即，所以，
所以，解得．………………9分
ⅱ）当或为直角时，不妨设为直角，
此时，，所以，即……①
又…………②将①代入②，消去得，解得或（舍去），
将代入①，得所以，
经检验，所求k值均符合题意。 ………………11分
综上，k的值为和． ………………12分
21. （本题12分）
22. （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵,
∴∽,∴……………………2分
又∵,∴, ∴,
∴∽， ∴， ∴…………4分
又∵，∴．……………………5分
（Ⅱ）∵, ∴ ，∵ ∴
由（1）可知：，解得.……………………7分
∴． ∵是⊙的切线，∴
∴，解得．……………………10分
23．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由，得
所以曲线C的直角坐标方程为.……………………5分
（Ⅱ）将直线的参数方程代入，得.
设、两点对应的参数分别为、，则，，
∴，
当时，的最小值为4. ……………………10分
24．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）原不等式等价于
或
解得：.
即不等式的解集为． ……………………5分
（Ⅱ）不等式等价于，
由于，所以的最小值为4，
于是即所以或．…10分
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