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课时提升作业(四十九)
抛 物 线
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△PMF的面积为( )
A.5 B.10 C.20 D.
【解析】选B.依据题意得点P的坐标为(4,±4),
所以S△PMF=|yP||PM|=×4×5=10,
所以选B.
【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时确定要留意.
【加固训练】(2021·石家庄模拟)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )
A.y2=4x B.y2=6x
C.y2=8x D.y2=10x
【解析】选C.由题意可知p>0,由于抛物线y2=2px,所以其准线方程为x=-,由于点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以|--2|=4,所以p=4,故抛物线方程为y2=8x.故选C.
2.(2021·六安模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是( )
A.2± B.2+ C.±1 D.-1
【解析】选A.F设y2(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得,所以y12=y22,又y1≠y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|==2,解得p=2±.
3.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
【解析】选C.由已知得抛物线的焦点F设点A(0,2),抛物线上点,则AF→=,AM→=.由已知得,AF→·AM→=0,即y02-8y0+16=0,因而y0=4,
M.由|MF|=5得,=5,又p>0,解得p=2或p=8,故选C.
4.(2021·济南模拟)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k的值为( )
【解析】选C.设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点
P(-2,0),如图过A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点,连接OB,则|OB|=|FA|,所以|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,故点B的坐标为(1,2),把B点坐标代入直线方程得k的值为.
5.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,
所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1,故选B.
【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得y1+y2=4,y12=2px1,y22=2px2,
两式相减得:kAB==1,所以p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要留意使用条件是Δ≥0.
(2)在椭圆=1(a>b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=
(3)在双曲线=1(a>0,b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.
(4)在抛物线y2=2px(p>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.
【加固训练】(2021·孝感模拟)直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选D.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l0,A(xA,yA),B(xB,yB),C是AB的中点,其坐标为(xC,yC),分别过点A,B作直线l0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=xA+1+xB+1=xA+xB+2=2xC+2=8.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是 .
【解析】由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离即为点P到准线y=的距离,所以+2=3,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y.
答案:x2=-4y
【误区警示】本题易忽视条件“焦点在y轴上”,误认为抛物线有两种形式,而造成解题错误.
7.(2021·安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为 .
【解析】设直线y=a与y轴交于M点,若抛物线y=x2上存在C点使得∠ACB=90°,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有除A,B外的交点即可,即使|AM|≤|MO|,所以≤a,所以a≥1或a≤0,由于由题意知a>0,所以a≥1.
答案:[1,+∞)
【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:
设C(m,m2),由已知可令A(,a),B(-,a),则AC→=(m-,m2-a), BC→=(m+,
m2-a),由于AC→⊥BC→,所以m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2-a)(m2+1-a)=0,解得m2=a>0且m2=a-1≥0,故a∈[1,+∞).
答案:[1,+∞)
8.已知抛物线x2=2y,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为 .
【解析】由x2=2y得y=12x2,所以y′=x.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
所以抛物线在P,Q两点处的切线的斜率分别为x1,x2,
所以过点P的抛物线的切线方程为y-y1=x1(x-x1),
又x12=2y1,所以切线方程为y=x1x-x122,
同理可得过点Q的切线方程为y=x2x-x222,
两切线方程联立解得
又抛物线焦点F的坐标为（0,12）,设直线l的方程为y=mx+12,
由得x2-2mx-1=0,
所以x1x2=-1,所以yA=-12.
答案:-12
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A,B两点,抛物线在A,B两点处的切线交于点M.
(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(2)设直线MF交该抛物线于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.
【解析】(1)由已知,得F(0,1),明显直线AB的斜率存在且不为0,则可设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y,得x2-4kx-4=0,明显Δ=16k2+16>0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.
由x2=4y,得y=x2,所以y′=x,
所以直线AM的斜率为kAM=x1,
所以直线AM的方程为y-y1=x1(x-x1),又x12=4y1,
所以直线AM的方程为x1x=2(y+y1)①.
同理,直线BM的方程为x2x=2(y+y2)②.
②-①并据x1≠x2得点M的横坐标x=,
即A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(2)由①②易得y=-1,所以点M的坐标为(2k,-1)(k≠0).
所以kMF=
则直线MF的方程为y=-x+1,
设C(x3,y3),D(x4,y4),
由消去y,得x2+x-4=0,明显Δ=+16>0,
所以x3+x4=-,x3x4=-4.
当且仅当k=±1时,四边形ACBD面积取到最小值32.
10.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1).
(1)求抛物线的标准方程.
(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程.
(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A,B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程.
【解题提示】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得p值,从而求得抛物线的标准方程.(2)当斜率不存在时,直线方程为x=2符合题意;当斜率存在时,先设直线方程并联立抛物线方程,得出Δ=0,即可求出结果.(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程化简,由x1+x2=2,求得k的值,从而得到AB的方程.
【解析】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得4=2p,所以p=2,故所求的抛物线的标准方程为x2=4y.
(2)(i)当斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;
(ii)当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1,
联立方程可得整理可得x2-4kx+8k-4=0.
由于直线与抛物线只有一个公共点,
所以Δ=16k2-32k+16=0,
所以k=1.
综上可得,直线l的方程为x-y-1=0或x=2.
(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为y-1=k′(x-1),代入抛物线的标准方程x2=4y可得
x2-4k′x+4k′-4=0,所以x1+x2=4k′=2,
所以k′=,所以AB的方程为y-1=(x-1),
即x-2y+1=0.
(20分钟 40分)
1.(5分)(2021·天津高考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=( )
A.1 B. C.2 D.3
【解析】选C.双曲线的离心率
2.(5分)(2021·武汉模拟)如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C.+1 D.-1
【解题提示】先依据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点F得到交点坐标,代入双曲线,把=c代入整理得c4-6a2c2+a4=0,等式两边同除以a4,得到关于离心率e的方程,进而可求得e.
【解析】选C.由题意,由于两条曲线交点的连线过点F,
所以两条曲线的一个交点为
代入双曲线方程得
又=c,
所以=1,化简得c4-6a2c2+a4=0,
所以e4-6e2+1=0,
所以e2=3+2=(1+)2,
所以e=+1,故选C.
3.(5分)如图,抛物线C:x2=2py(p>0)与圆O:x2+y2=1在第一象限的交点为Q,抛物线C和圆O在点Q处的切线的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=1,则p= .
【解析】设Q(x0,y0),且x0>0,y0>0,由抛物线C:x2=2py(p>0)知点Q处的切线斜率为y′=xp|x=x0=x0p,即k1=x0p,由圆的切线性质可知圆O在点Q处的切线斜率为-x0y0,即k2=-x0y0,由于k1+k2=1,所以x0p-x0y0=1 ①,又由于点Q在抛物线C和圆O上,所以有x02+y02=1 ②,x02=2py0 ③,由①③联立得x0p-x0y0=1,x02=2py0,解得x0=2p,y0=2p,即点Q(2p,2p),代入②中得,4p2+4p2=1,所以p2=18.又由于p>0,所以p=24.
答案:24
4.(12分)(2021·济南模拟)如图,抛物线C1:y2=4x的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长半轴相等,设椭圆的右顶点为A,C1,C2在第一象限的交点为B,O为坐标原点,且△OAB的面积为263.
(1)求椭圆C2的标准方程.
(2)过A点作直线l交C1于C,D两点,射线OC,OD分别交C2于E,F两点,记△OEF,△OCD的面积分别为S1,S2,问是否存在直线l,使得S1∶S2=3∶13?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由于y2=4x,所以焦准距p=2,
由抛物线C1的焦准距与椭圆C2的长半轴相等知a=2,
由于S△OAB=12|OA|×yB=263,所以yB=263,代入抛物线方程得B23,263,
又B点在椭圆上,代入椭圆方程,解得b2=3,
故椭圆C2的标准方程是:x24+y23=1.
(2)由于直线l不垂直于y轴,故直线l的方程可设为x=my+2,
由x=my+2,y2=4x得y2-4my-8=0.
设C(x1,y1),D(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-8,
故x1x2=y124×y224=4.
所以S2S1=12|OC||OD|sin∠COD12|OE||OF|sin∠EOF=|OC||OD||OE||OF|
=|y1||y2||yE||yF|.
又直线OC的斜率为y1x1=4y1,故直线OC的方程为:
x=y1y4,
由x=y1y4,x24+y23=1得yE2=64×33y12+64,同理,yF2=64×33y22+64.
所以yE2yF2=642×32(3y12+64)(3y22+64)
=642×329y12y22+64×3(y12+y22)+642=64×32121+48m2,
所以S2S12=y12y22yE2yF2=121+48m232,
又S1∶S2=3∶13,所以121+48m232=1332,解得m=±1,
故存在直线l:x+y-2=0或x-y-2=0,使得S1∶S2=3∶13.
【加固训练】已知抛物线C:x2=2py(p>0),O为坐标原点,F为抛物线的焦点,直线y=x与抛物线C相交于不同的两点O,N,且|ON|=4.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A,B,交x轴于点M,且MA→=aAF→,MB→=bBF→,对任意的直线l,a+b是否为定值?若是,求出a+b的值;否则,说明理由.
【解析】(1)联立方程得x2-2px=0,
故O(0,0),N(2p,2p),
所以|ON|=
由2p=4,得p=2,
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)明显直线l的斜率确定存在且不等于零,设其方程为y=kx+1,则直线l与x轴交点为
设点A(x1,y1),点B(x2,y2),
由得x2-4kx-4=0,
所以Δ=(4k)2-(-16)=16(k2+1)>0,
所以x1+x2=4k,x1·x2=-4.
由MA→=aAF→,得=a(-x1,1-y1),
所以同理可得
所以a+b=
所以对任意的直线l,a+b为定值-1.
5.(13分)(力气挑战题)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-2时,切线MA的斜率为-12.
(1)求p的值.
(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
【解析】(1)由于抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=x2,且切线MA的斜率为-12,所以A点坐标为（-1,14）.故切线MA的方程为y=-12(x+1)+14.
由于点M(1-2,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=-12(2-2)+14=-3-224, ①
y0=-(1-2)22p=-3-222p. ②
由①②得p=2.
(2)设N(x,y),A（x1,x124）,B（x2,x224）,x1≠x2,由N为线段AB中点知x=x1+x22, ③ y=x12+x228. ④
切线MA,MB的方程为y=x12(x-x1)+x124, ⑤
y=x22(x-x2)+x224. ⑥
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为
x0=x1+x22,y0=x1x24.
由于点M(x0,y0)在C2上,即x02=-4y0,所以
x1x2=-x12+x226. ⑦
由③④⑦得x2=43y,x≠0.
当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=43y.
因此AB中点N的轨迹方程为x2=43y.
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