【名师一号】2022届高三数学一轮总复习基础练习：第四章-平面向量、数系的扩充与复数的引入4-4-.docx

第四节　数系的扩充与复数的引入
时间：45分钟　分值：100分

一、选择题
1．(2022·山东卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝(　　)
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
解析　∵a＋i＝2－bi，∴a＋bi＝2－i.
即(a＋bi)2＝(2－i)2＝4－4i－1＝3－4i.
答案　A
2．(2022·湖北卷)i为虚数单位，2＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析　由于＝＝＝－i.
所以2＝(－i)2＝－1，故选B.
答案　B
3．(2022·“皖南七校”联合考试)复数z＝(i是虚数单位)在复平面内的对应点位于(　　)
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　∵i2 014＝(i2)1 007＝(－1)1 007＝－1，
∴z＝＝－＝－＝－，∴z在复平面内的坐标为，故选C.
答案　C
4．(2021·四川模拟)在复平面内，复数z和表示的点关于虚轴对称，则复数z＝(　　)
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
解析　由＝－＋i可知复数z对应的点为，其关于虚轴的对称点为，故复数z＝＋i，故选A.
答案　A
5．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝(　　)

A．2
B．3
C．2
D．3
解析　由题图可知，z1＝－2－i，z2＝i，
则z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2，故选A.
答案　A
6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析　对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒＝，是真命题；对于B，C易推断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i是假命题．
答案　D
二、填空题
7．若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是________．
解析　(a＋i)2＝a2－1＋2ai，由题意知a2－1＝0且2a<0，即a＝－1.
答案　－1
8．已知i是虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2 013＝________.
解析　∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，∴i＋i2＋i3＋…＋i2 013＝i.
答案　i
9．已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.
解析　∵z＝＝＝＝2＋i，∴|z|＝.
答案　
三、解答题
10．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．
解　1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
∵＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.
∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.
11．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
解　

如图，z1，z2，z3分别对应点A，B，C.
∴＝－.
∴所对应的复数为z2－z1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i.
在正方形ABCD中，＝，
∴所对应的复数为－3－i.
又＝－，
∴＝－所对应的复数为
z3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i，
∴第四个顶点对应的复数为2－i.

1．(2021·湖北部分重点中学一联)若z＝sinθ－＋i是纯虚数，则tan＝(　　)
A．－ B．－7
C．－ D．－1
解析　依题意
∴sinθ＝，cosθ＝－，∴tanθ＝＝－，
∴tan＝＝＝－7.选B.
答案　B
2．设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
解析　实数可以比较大小，而虚数不能比较大小；设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，
得则b＝0，所以A正确；同理，z2<0，则z是纯虚数，所以B正确；反过来，z是纯虚数，则z2<0，D正确；对于选项C，不妨取z＝1＋i，则z2＝2i不能与0比较大小．
答案　C
3．(2022·广东卷)对任意复数ω1，ω2，定义ω1]，其中是ω2的共轭复数．对任意复数z1，z2，z3，有如下四个命题：
①(z1＋z2)*z3＝(z1](　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　由定义知(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)·＝z1＋z2＝(z1]＝z1(＋)＝z1＋z1＝z1])*z3＝z1，右边＝z1])＝z1z2＝z1z3，左边≠右边，故③错误；对于④，取z1＝1＋i，z2＝2＋i，左边＝z1＝(1＋i)(2－i)＝3＋i；右边＝z2＝(2＋i)(1－i)＝3－i，左边≠右边，故④错误，故选B.
答案　B
4．设复数z＝－3cosθ＋2isinθ.
(1)当θ＝π时，求|z|的值；
(2)若复数z所对应的点在直线x＋3y＝0上，求的值．
解　(1)∵θ＝π，
∴z＝－3cosπ＋2isinπ＝－i.
∴|z|＝＝.
(2)由条件得－3cosθ＋3×2sinθ＝0，∴tanθ＝.
原式＝＝＝.