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其次节 平面对量基本定理及其坐标运算
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．如图，设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．③④
C．①③ D．①④
解析 ①中与不共线，可作为基底；②中与为共线向量，不行作为基底；③中与是两个不共线的向量，可作为基底；④中与在同一条直线上，是共线向量，不行作为基底．综上，只有①③中的向量可以作为基底，故选C.
答案 C
2．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
解析 ＝3＝3(2－)＝6－3
＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．
答案 B
3．已知平面对量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，且2a＋3b＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
解析 由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
答案 C
4．(2021·昆明模拟)如图所示，向量＝a，＝b，＝c，A，B，C在一条直线上，且＝－3，则( )
A．c＝－a＋b
B．c＝a－b
C．c＝－a＋2b
D．c＝a＋2b
解析 ∵＝－3，∴－＝－3(－)．
∴＝－＋，即c＝－a＋b.
答案 A
5．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
解析 ＝(3，－4)，则||＝5，
所以与同向的单位向量为.
答案 A
6．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
解析 若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.
答案 C
二、填空题
7．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝________.
解析 a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，
由题意得(8－2x)·(x＋1)＝·(16＋x)，
整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4.
答案 4
8．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在其次象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．
解析 由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，则＝(－3λ，)，由∠AOC＝30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，则tan150°＝，即－＝－，故λ＝1.
答案 1
9．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．
解析 由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以推断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有＝，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)，即D点的坐标为(0，－2)．
答案 (0，－2)
三、解答题
10．如图，||＝||＝1，||＝，∠AOB＝60°，⊥，设＝x＋y.求x，y的值．
解
过C作CD∥OB，交OA的反向延长线于点D，连接BC，由||＝1，||＝，⊥，得∠OCB＝30°.又∠COD＝30°，∴BC∥OD，∴＝＋＝－2＋.∴x＝－2，y＝1.
11．已知向量a＝(sinα，－2)，b＝(1，cosα)，其中α∈.
(1)向量a，b能平行吗？请说明理由．
(2)若a⊥b，求sinα和cosα的值．
(3)在(2)的条件下，若cosβ＝，β∈，求α＋β的值．
解 (1)向量a，b不能平行．若平行，需sinαcosα＋2＝0，
即sin2α＝－4，而－4∉[－1,1]，∴向量a，b不能平行．
(2)∵a⊥b，∴a·b＝sinα－2cosα＝0，
即sinα＝2cosα，又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴4cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝，∴sin2α＝，
又α∈，∴sinα＝，cosα＝.
(3)由(2)知sinα＝，cosα＝，cosβ＝，β∈，得sinβ＝.
则cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.又α＋β∈(0，π)，则α＋β＝.
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，m∥n，则cosA的值等于( )
A. B.
C. D.
解析 m∥n⇒(b－c)cosA－acosC＝0，再由正弦定理得sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA⇒
sinBcosA＝sin(C＋A)＝sinB，即cosA＝.
答案 C
2．设A，B，C为直线l上不同的三点，O为直线l外一点，若p＋q＋t＝0(p，q，t∈R)，则p＋q＋t等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
解析 ∵＝－，＝－，＝
λ，∴－＝λ(－)，即(1－λ)＋
λ－＝0，∴(1－λ)＋λ－1＝0，∴p＋q＋t＝0.
答案 B
3．(2022·湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0) ，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．
解析 动点D的轨迹为以C为圆心的单位圆，
则设D点坐标为(3＋cosθ，sinθ)(θ∈[0,2π))，
则＋＋＝(3＋cosθ－1，sinθ＋)，
∴|＋＋|
＝
＝
＝
＝ ，
当θ＝φ时|＋＋|max＝＝＋1.
答案 ＋1
4．(2022·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
解 (1)方法1：∵＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，
∴解得x＝2，y＝2.
即＝(2,2)，故||＝2.
方法2：∵＋＋＝0.
则(－)＋(－)＋(－)＝0，
∴＝(＋＋)＝(2,2)，
∴||＝2.
(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，
∴
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值．
故m－n的最大值为1.
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