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等差数列、等比数列的基本量运算
例1 (2022·重庆卷文)已知{an}是首项为1、公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.
(1) 求an及Sn;
(2) 设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
【分析】 (1) 已知等差数列的首项和公差,可直接利用公式an=a1+(n-1)d,Sn=na1+d求解.
(2) 利用(1)的结果求出a4,S4,解方程q2-(a4+1)q+S4=0,得出等比数列{bn}的公比q的值,从而可直接由公式bn=b1·qn-1,Tn=求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
【解答】 (1) 由于{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1,
Sn=1+3+…+(2n-1)=
==n2.
(2) 由(1)得a4=7,S4=16.
由于q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,
所以(q-4)2=0,从而q=4.
又b1=2,q=4,
所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1,
从而{bn}的前n项和Tn==(4n-1).
变式1 (2022·南通期末)已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1+a2=a3,b1b2=b3,且a3,a2+b1,a1+b2成等差数列,a1,a2,b2成等比数列,求数列{an}和数列{bn}的通项公式.
【解答】 (1) 设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.
依题意,得
解得a1=d=1,b1=q=2.
故an=n,bn=2n.
变式2 已知等差数列{an}中的前三项和为12,且2a1,a2,a3+1依次成等比数列,求数列{an}的公差d及前n项和Sn.
【分析】 可以依据题意列出关于a1和d的方程组来解得.
【解答】 设等差数列{an}的公差为d,由数列的前三项和为12,得3a2=12,所以a2=4.
由于2a1,a2,a3+1成等比数列,
所以2a1(a3+1)=,
即2(a2-d)(a2+d+1)=,
即2(4-d)(5+d)=16,
所以d2+d-12=0,解得d=-4或d=3.
①当d=-4时,a1=8,
所以Sn=8n+×(-4)=-2n2+10n.
②当d=3时,a1=1,
所以Sn=n+×3=.
综上,当d=-4时,Sn=-2n2+10n;
当d=3时,Sn=.
【点评】 在等差数列、等比数列的运算中,常见常用的有六个基本量,它们分别是a1,d,q,n,an,Sn.把握这六个基本量之间的各种关系,结合娴熟的运算,是正确解决等差数列与等比数列基本问题的前提.
等差数列、等比数列的推断与证明
例2 (2022·徐州三模改编)已知数列{an},{bn}满足a1=3,anbn=2,bn+1=an,n∈N*,证明数列是等差数列,并求数列{bn}的通项公式.
【分析】 结合等差数列的概念,要证明数列是等差数列,就是要证明-是一个常数.将anbn=2代入bn+1=an转化成-=,即证明数列是等差数列.
【解答】 (1) 由于anbn=2,所以an=,
则bn+1=anbn-=2-=2-=,所以-=.
又a1=3,所以b1=.
故是以首项为、公差为的等差数列,
即=+(n-1)×=,
所以bn=.
【点评】 推断或证明一个数列是等差数列或等比数列最直接和常用的方法就是定义法.结合等差数列、等比数列的概念,推断或证明数列是等差、等比数列的常用方法有以下三种:一、 定义法;二、 等比(差)中项法;三、 依据数列通项特征求证.
变式 (2022·江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 求证:对任意n>1,都有m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.
【解答】 (1) 当n=1时,a1=S1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=3n-2.
当n=1时,a1=3×1-2=1,所以an=3n-2.
(2) 若a1,an,am成等比数列,则=a1am,
所以(3n-2)2=3m-2,
即3m=(3n-2)2+2=9n2-12n+6,
所以m=3n2-4n+2.
则对任意n>1,都有3n2-4n+2∈N*,
所以对任意n>1,都有m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.
等差数列与等比数列求和
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n=1,2,3…),在数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.
(1) 求数列{an},{bn}的通项an和bn;
(2) 设cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
【分析】 (1) 先由第n项与前n项和的关系,求出数列{an}的递推关系an=2an-1,再由等比数列的定义判定数列{an}是等比数列,用等比数列的通项公式,求出数列{an}的通项公式,由点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,得bn+1-bn=2.依据等差数列定义知数列{bn}是等差数列,所以再依据等差数列的通项公式,求出bn的通项公式.(2) 由(1)知cn=an·bn是等差数列与等比数列对应项乘积构成的新数列,其求和用错位相减法.
【解答】 (1) 由于Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,
又Sn-Sn-1=an(n≥2,n∈N*),
所以an=2an-2an-1.由于an≠0,
所以=2(n≥2,n∈N*),即数列{an}是等比数列.
由于a1=S1,所以a1=2a1-2,得a1=2,
所以an=2n.
由于点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,
所以bn-bn+1+2=0,
所以bn+1-bn=2,
即数列{bn}是以b1=1为首项,2为公差的等差数列,
所以bn=2n-1.
(2) 由于cn=(2n-1)2n,
所以Tn=a1b1+a2b2+…+anbn
=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)2n①,
所以2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1②.
①-②得-Tn=1×2+(2×22+2×23+…+2×2n)-(2n-1)2n+1,
即-Tn=1×2+(23+24+…+2n+1)-(2n-1)2n+1,
所以Tn=(2n-3)2n+1+6.
变式 (2022·淮安、宿迁摸底)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn=(an-1)(an+2),n∈N*.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 设bn=(-1)nanan+1,求数列{bn}的前2n项和T2n.
【解答】 (1) 当n=1时,S1=(a1-1)·(a1+2),
解得a1=-1或a1=2.
由于a1>0,所以a1=2.
当n≥2时,Sn=(an-1)(an+2),
Sn-1=(an-1-1)(an-1+2).
两式相减得(an+an-1)(an-an-1-1)=0.
又由于an>0,所以an+an-1>0,
所以an-an-1=1.
所以数列{an}是公差为1的等差数列,
所以an=n+1.
(2) T2n=-a1a2+a2a3-a3a4+a4a5-a5a6+…+a2n-2·a2n-1-a2n-1a2n+a2na2n+1=2(a2+a4+…+a2n).
又a2,a4,…,a2n是首项为3,公差为2的等差数列,
所以a2+a4+…+a2n==n2+2n.故T2n=2n2+4n.
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