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提能专训(一) 函数与方程思想
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
[答案] B
[解析] 设φ(x)＝f(x)－(2x＋4)，则φ′(x)＝f′(x)－2>0，∴φ(x)在R上为增函数，又φ(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴由φ(x)>0，可得x>－1.故f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
2．若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数和偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )
A．f(2)<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f(2)
C．f(2)<g(0)<f(3) D．g(0)<f(2)<f(3)
[答案] D
[解析] 由题意得，f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)＝，g(x)＝－，g(0)＝－1，函数f(x)＝在R上是增函数，且f(3)>f(2)＝>0，因此g(0)<f(2)<f(3)，选D.
3．(2022·辽宁)已知a＝2，b＝log2，c＝log，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
[答案] D
[解析] 0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，
即0＜a＜1，b＜0，c＞1，所以c＞a＞b.
4．(2022·太原模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＋a7＋a10＝9，S14－S3＝77，则使Sn取得最小值时，n的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
[答案] B
[解析] 设{an}的公差为d.
由得
因此等差数列{an}的通项公式为an＝2n－11，令an>0，解得n>，故前5项和最小．
5．(2022·开封摸底)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．212 B．29 C．28 D．26
[答案] A
[解析] f′(x)＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，
∴f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＝a1a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212.
6．(2022·贵州六校联考)已知f(x)是偶函数，当x∈时，f(x)＝xsin x，若a＝f(cos 1)，b＝f(cos 2)，c＝f(cos 3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a<b<c B．b<a<c
C．c<b<a D．b<c<a
[答案] B
[解析] 由于f(x)为偶函数，故b＝f(cos 2)＝f(－cos 2)，c＝f(cos 3)＝f(－cos 3)，由于x∈，f′(x)＝sin x＋xcos x≥0，即函数在区间上为增函数，依据单位圆中三角函数线，得0<－cos 2<cos 1<－cos 3<，依据函数单调性，得f(－cos 2)<f(cos 1)<f(－cos 3)，故选B.
7．(2022·衡水一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1，x2不等式x1f(x1)＋x2f(x2)<x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则不等式f(1－x)<0的解集为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
[答案] C
[解析] 由x1f(x1)＋x2f(x2)<x1f(x2)＋x2f(x1)，得x1f(x1)＋x2f(x2)－x1f(x2)－x2f(x1)<0，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，
∴f(x)在R上单调递减，又f(－x)＝－f(x)，
∴f(0)＝0，∴f(1－x)<0＝f(0)，
∴1－x>0，即x<1.
8．已知抛物线C：x＝y2的焦点为F(m,0)，点M的坐标为(－m，m)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝( )
A. B. C. D．2
[答案] D
[解析] 由于抛物线C：x＝y2，即y2＝8x，所以抛物线的焦点为F(2,0)，即m＝2，所以点M的坐标为(－2,2)．设直线AB的方程为x＝ty＋2，与抛物线方程联立并消去x，可得y2－8ty－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，y1＋y2＝8t，则x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝8t2＋4，x1x2＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2＋16t2＋4＝4.
由·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝4＋16t2＋8＋4－16－16t＋4＝16t2－16t＋4＝4(2t－1)2＝0，解得t＝，所以k＝＝2.故选D.
9．(2022·郑州质检)已知a，b是两个相互垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝1，则对任意的正实数t，的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
[答案] B
[解析] 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，
则由c·a＝c·b＝1，得
c＝(1,1)，c＋ta＋b＝(1,1)＋t(1,0)＋(0,1)＝，
＝
＝≥2，
当且仅当t＝1时等号成立．
10．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] D
[解析] (1)当x≤0时，f(x)＝x2－2x－3，由f(x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.由于x≤0，所以x＝－1.
此时函数f(x)只有一个零点．
(2)当x>0时，f(x)＝ln x－x2＋2x，
令f(x)＝0，得ln x＝x2－2x，如图，分别作出函数y＝ln x与y＝x2－2x(x>0)的图象，由图可知两个函数图象有两个交点，所以此时函数f(x)有两个零点．
综上知，函数f(x)的零点有三个．故选D.
11．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．[0,1)
C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
[答案] C
[解析] 函数f(x)＝的图象如图所示，当a<1时，函数y＝f(x)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根．
二、填空题
12．(2022·忻州一联)在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤对n∈N*恒成立，则正整数m的最小值是________．
[答案] 5
[解析] 由已知可得an＝4n－3，对数列{S2n＋1－Sn}，有(S2n＋3－Sn＋1)－(S2n＋1－Sn)＝＋－<0，因此数列{S2n＋1－Sn}单调递减，∴≥(S2n＋1－Sn)max＝S3－S1＝，即m≥，故正整数m的的最小值为5.
13．(2022·银川月考)下列结论中：
①函数y＝x(1－2x)(x>0)有最大值；
②函数y＝2－3x－(x<0)有最大值2－4；
③若a>0，则(1＋a)≥4.
正确结论的序号是________．
[答案] ①③
[解析] 函数y＝x(1－2x)对称轴为x＝，故当x＝时取到最大值，①正确；函数y＝2－3x－＝2＋，由于x<0，所以y≥2＋4，②错误；由于a>0，则(1＋a)＝2＋a＋≥4，③正确．
14．(2022·保定调研)若函数f(x)＝x3＋3x对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x∈________.
[答案]
[解析] 由题意可知f(x)为奇函数，且在定义域内为增函数，∴f(mx－2)＋f(x)<0可变形为f(mx－2)<f(－x)，∴mx－2<－x，将其看作关于m的一次函数g(m)＝x·m－2＋x，m∈[－2,2]，可得当m∈[－2,2]时，g(m)<0恒成立，若x≥0，g(2)<0，若x<0，g(－2)<0，解得－2<x<.
15．(2022·武汉4月调研)已知函数f(x)＝axsin x－(a∈R)，若对x∈，f(x)的最大值为，则
(1)a的值为________；
(2)函数f(x)在(0，π)内的零点个数为________．
[答案] (1)1 (2)2
[解析] 由于f′(x)＝a(sin x＋xcos x)，当a≤0时，f(x)在x∈上单调递减，最大值f(0)＝－，不适合题意，所以a>0，此时f(x)在x∈上单调递增，最大值f＝a－＝，解得a＝1，符合题意，故a＝1.f(x)＝xsin x－在x∈(0，π)内的零点个数即为函数y＝sin x，y＝的图象在x∈(0，π)内的交点个数，又x＝时，sin＝1>>0，所以两图象在x∈(0，π)内有2个交点，即f(x)＝xsin x－在x∈(0，π)内的零点个数是2.
三、解答题
16．(2022·合肥质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋4(x∈R)在x＝2处取得微小值．
(1)若函数f(x)的微小值是－4，求f(x)；
(2)若函数f(x)的微小值不小于－6，问：是否存在实数k与函数f(x)，使得函数f(x)在[k，k＋3]上单调递减．若存在，求出k的取值集合与f(x)；若不存在，说明理由．
解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由知
解得检验可知，满足题意，
故f(x)＝x3－2x2－4x＋4(x∈R)．
(2)假设存在实数k，使得函数f(x)在[k，k＋3]上单调递减．
设f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则x2＝2.由f′(x)<0，得x∈(x1，x2)，∴f(x)的单调递减区间为[x1，x2]．
由x1＋2＝－，解得x1＝－－2，∴f(x)的单调递减区间为.
由条件有解得
∴函数f(x)在[－1,2]上单调递减．
由得k＝－1，
∴存在实数k＝－1，满足题意．
∴k的取值集合是{－1}，f(x)＝x3－x2－6x＋4.
17．(2022·石家庄质检二)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P，Q，求△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．
解：(1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，依据题意，得＝，
化简得x2＝4y.
故曲线C的方程为x2＝4y.
(2)设直线PQ的方程为y＝kx＋b，
由消去y，得x2－4kx－4b＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则且Δ＝16k2＋16b.
以点P为切点的切线的斜率为x1，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，
即y＝x1x－x，
同理过点Q的切线的方程为y＝x2x－x.
设两条切线的交点A(xA，yA)，
∵x1≠x2，解得
即A(2k，－b)，
则2k＋b－2＝0，即b＝2－2k，代入Δ＝16k2＋16b＝16k2＋32－32k＝16(k－1)2＋16>0，
∴|PQ|＝|x1－x2|
＝4，
又A(2k，－b)到直线PQ的距离为d＝，
∴S△APQ＝|PQ|·d＝4|k2＋b|·＝4(k2＋b) ＝4(k2－2k＋2) ＝4[(k－1)2＋1] ，
∴当k＝1时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．
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