1、提能专训(一)函数与方程思想一、选择题1函数f(x)的定义域为R,f(1)2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1,) C(,1) D(,)答案B解析设(x)f(x)(2x4),则(x)f(x)20,(x)在R上为增函数,又(1)f(1)(24)0,由(x)0,可得x1.故f(x)2x4的解集为(1,)2若函数f(x),g(x)分别为R上的奇函数和偶函数,且满足f(x)g(x)ex,则有()Af(2)f(3)g(0) Bg(0)f(3)f(2)Cf(2)g(0)f(3) Dg(0)f(2)f(2)0,因此g(0)f(2)bc Bacb Ccba Dcab答案
2、D解析0a2201,blog2log210,cloglog1,即0a1,b0,c1,所以cab.4(2022太原模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,a4a7a109,S14S377,则使Sn取得最小值时,n的值为()A4 B5 C6 D7答案B解析设an的公差为d.由得因此等差数列an的通项公式为an2n11,令an0,解得n,故前5项和最小5(2022开封摸底)等比数列an中,a12,a84,函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8),则f(0)()A212 B29 C28 D26答案A解析f(x)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8),f(0)(0a1)(0a
3、2)(0a8)a1a2a8(a1a8)484212.6(2022贵州六校联考)已知f(x)是偶函数,当x时,f(x)xsin x,若af(cos 1),bf(cos 2),cf(cos 3),则a,b,c的大小关系为()Aabc Bbac Ccba Dbca答案B解析由于f(x)为偶函数,故bf(cos 2)f(cos 2),cf(cos 3)f(cos 3),由于x,f(x)sin xxcos x0,即函数在区间上为增函数,依据单位圆中三角函数线,得0cos 2cos 1cos 3,依据函数单调性,得f(cos 2)f(cos 1)f(cos 3),故选B.7(2022衡水一模)已知函数f(
4、x)是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的不等实数x1,x2不等式x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)恒成立,则不等式f(1x)0的解集为()A(,0) B(0,) C(,1) D(1,)答案C解析由x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1),得x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)0,(x1x2)f(x1)f(x2)0,f(x)在R上单调递减,又f(x)f(x),f(0)0,f(1x)0,即x0时,f(x)ln xx22x,令f(x)0,得ln xx22x,如图,分别作出函数yln x与yx22x(x0)的图象,由图可知两个函数图象有两个交
5、点,所以此时函数f(x)有两个零点综上知,函数f(x)的零点有三个故选D.11已知函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为()A(,0 B0,1) C(,1) D0,)答案C解析函数f(x)的图象如图所示,当a1时,函数yf(x)的图象与函数yxa的图象有两个交点,即方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根二、填空题12(2022忻州一联)在等差数列an中,a25,a621,记数列的前n项和为Sn,若S2n1Sn对nN*恒成立,则正整数m的最小值是_答案5解析由已知可得an4n3,对数列S2n1Sn,有(S2n3Sn1)(S2n1Sn)0)有最大值;函数
6、y23x(x0,则(1a)4.正确结论的序号是_答案解析函数yx(12x)对称轴为x,故当x时取到最大值,正确;函数y23x2,由于x0,则(1a)2a4,正确14(2022保定调研)若函数f(x)x33x对任意的m2,2,f(mx2)f(x)0恒成立,则x_.答案解析由题意可知f(x)为奇函数,且在定义域内为增函数,f(mx2)f(x)0可变形为f(mx2)f(x),mx2x,将其看作关于m的一次函数g(m)xm2x,m2,2,可得当m2,2时,g(m)0恒成立,若x0,g(2)0,若x0,g(2)0,解得2x0,此时f(x)在x上单调递增,最大值fa,解得a1,符合题意,故a1.f(x)x
7、sin x在x(0,)内的零点个数即为函数ysin x,y的图象在x(0,)内的交点个数,又x时,sin10,所以两图象在x(0,)内有2个交点,即f(x)xsin x在x(0,)内的零点个数是2.三、解答题16(2022合肥质检)已知函数f(x)x3ax2bx4(xR)在x2处取得微小值(1)若函数f(x)的微小值是4,求f(x);(2)若函数f(x)的微小值不小于6,问:是否存在实数k与函数f(x),使得函数f(x)在k,k3上单调递减若存在,求出k的取值集合与f(x);若不存在,说明理由解:(1)f(x)3x22axb,由知解得检验可知,满足题意,故f(x)x32x24x4(xR)(2)假设存在实数k,使得函数f(x)在k,k3上单调递减设f(x)3x22axb0的两根为x1,x2(x1x2),则x22.由f(x)0,|PQ|x1x2|4,又A(2k,b)到直线PQ的距离为d,SAPQ|PQ|d4|k2b|4(k2b) 4(k22k2) 4(k1)21 ,当k1时,SAPQ最小,其最小值为4,此时点A的坐标为(2,0)