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阶段回扣练7 立体几何
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题
1．(2022·福建省质量检查)某几何体的俯视图是正方形，则该几何体不行能是
( )
A．三棱柱 B．四棱柱
C．圆柱 D．圆锥
解析 依题意，当一个几何体的俯视图是正方形时，该几何体不行能是圆锥，故选D.
答案 D
2．(2021·杭州质量检测)设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β
( )
A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥m
C．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m
解析 A中直线l与m相互垂直，不正确；B中依据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.
答案 B
3.如图是一个无盖的正方体盒子开放后的平面图，A，B，C是开放图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为
( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析 还原为正方体，如图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.
答案 C
4．(2022·甘肃诊断)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为
( )
解析 由正视图和俯视图还原几何体如图所示，由正视图和俯视图对应线段可得AB＝BD＝AD＝2，当BC⊥平面ABD时，BC＝2，△ABD的边AB上的高为，只有B选项符合，当BC不垂直平面ABD时，没有符合条件的选项，故选B.
答案 B
5．(2022·广州综合测试)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
( )
A．2π B．4π C．6π D．12π
解析 依题意，题中的几何体是半个圆柱，因此其体积等于×π×22×3＝6π.
答案 C
6．(2021·济南模拟)已知直线m，n不重合，平面α，β不重合，下列命题正确的是
( )
A．若m⊂β，n⊂β，m∥α，n∥α，则α∥β
B．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
C．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
解析 由面面平行的判定定理可知A中需增加条件m，n相交才正确，所以A错误；若m⊂α，，n⊂β，α∥β，则m，n平行或异面，B错误；若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n平行、相交、异面都有可能，C错误；由直线与平面垂直的定义可知D正确，故选D.
答案 D
7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为
( )
A.π B．π＋
C.π＋ D.π＋
解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，∴表面积S＝×2×＋×π×12＋×π×1×2＝＋.
答案 C
8．(2021·东北三省四市联考)若一个圆柱的正视图与其侧面开放图相像，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为
( )
A. B. C. D.
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，则＝，则h＝2r，则S侧＝2πr·h＝4πr2，S全＝4πr2＋2πr2，故圆柱的侧面积与全面积之比为＝，故选B.
答案 B
二、填空题
9.如图所示，在边长为5＋的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积S＝________.
解析 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由已知条件得
，
解得r＝，l＝4，S＝πrl＋πr2＝10π.
答案 10π
10．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是点A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形．则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，相互垂直的异面直线共有________对．
解析 四棱锥P－ABCD的直观图如图所示，结合图形可知，满足题中要求的有PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，共6对．
答案 6
11．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．
解析 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA为三棱锥P－ABC的高，且PA＝3.
∵底面ABC为正三角形且边长为2，
∴底面面积为×22×sin 60°＝，
∴VP－ABC＝××3＝.
答案
12．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为________．
解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为侧面△PAB的边AB上的高，且PE＝5.∴此几何体的侧面积是S＝
4S△PAB＝4××8×5＝80 cm2.
答案 80
13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析 由三视图知该几何体是由三个圆柱组成的，∴该几何体的体积为π×2×1×2＋π×2×4＝12π.
答案 12π
14．一个盛满水的三棱锥容器S－ABC，不久发觉三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且SD∶DA＝SE∶EB＝CF∶FS＝2∶1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的______倍．
解析 设点F到平面SDE的距离为h1，点C到平面SAB的距离为h2，当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多．
＝
＝＝··＝××＝.
故最多可盛原来水的1－＝.
答案
15．(2022·浙江卷改编)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中________．
①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；
②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；
③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；
④对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直．
解析 对于AB⊥CD，由于BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.由于AB＝1，BC＝，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.
答案 ②
三、解答题
16.(2021·青岛质量检测)如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝3BC＝6，BF＝CF＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM＝2.
(1)证明：AF∥平面BDG；
(2)证明：平面BGM⊥平面BFC.
证明 (1)连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG.
∵点G为FC的中点，
∴OG为△AFC的中位线，
∴OG∥AF.∵AF⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，
∴AF∥平面BDG.
(2)连接FM.
∵BF＝CF＝BC＝2，G为CF的中点，∴BG⊥CF.
∵CM＝2，∴DM＝4.
∵EF∥AB，四边形ABCD为矩形，∴EF∥DM，
又∵EF＝DM＝4，∴四边形EFMD为平行四边形．
∴FM＝ED＝2，∴△FCM为正三角形，∴MG⊥CF.
∵MG∩BG＝G，∴CF⊥平面BGM.
∵CF⊂平面BFC，∴平面BGM⊥平面BFC.
17．如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF，CE＝λAF(λ>1)．
(1)证明：BD⊥EF；
(2)若AF＝1，且直线BE与平面ACE所成角的正弦值为，求λ的值．
(1)证明
连接BD，AC，交点为O.
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.
∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥BD.
又∵AF∩AC＝A，
∴BD⊥平面ACEF.
又EF⊂平面ACEF，∴BD⊥EF.
(2)解 连接OE，AE，由(1)知，BD⊥平面ACEF，
∴∠BEO即为直线BE与平面ACE所成的角．
∵AF⊥平面ABCD，CE∥AF，
∴CE⊥平面ABCD，CE⊥BC，
∵BC＝1，AF＝1，则CE＝λ，BE＝，BO＝，
∴Rt△BEO中，sin∠BEO＝＝＝，
由λ>1，解得λ＝.
18.(2022·重庆卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝.
(1)证明：BC⊥平面POM；
(2)若MP⊥AP，求四棱锥P－ABMO的体积．
(1)证明 如图，连接OB，由于ABCD为菱形，O为菱形的中心，所以AO⊥OB.
由于∠BAD＝，
所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1，
又由于BM＝，且∠OBM＝，所以在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋2－2×1××cos＝.
所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.
又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.
从而BC与平面POM内两条相交直线OM，
PO都垂直，所以BC⊥平面POM.
(2)解 由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2·cos＝.
设PO＝a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，
故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.
又△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋.
连接AM，在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋2－2×2××cos＝.
由于MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则PA2＋PM2＝AM2，即a2＋3＋a2＋＝，得a＝或a＝－(舍去)，即PO＝.
此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝·AO·OB＋·BM·OM＝××1＋××＝.所以VP－ABMO＝·S四边形ABMO·PO＝××＝.
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分别是线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.
(1)求证：DP⊥平面EPC；
(2)问在EP上是否存在点F，使平面AFD⊥平面BFC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
(1)证明
∵EP⊥平面ABCD，
∴EP⊥DP.
又ABCD为矩形，AB＝2BC，P、Q分别为AB、CD的中点，连接PQ，
则PQ⊥DC且PQ＝DC.
∴DP⊥PC.
又∵EP∩PC＝P，∴DP⊥平面EPC.
(2)解 假设存在F使平面AFD⊥平面BFC，
∵AD∥BC，BC⊂平面BFC，AD⊄平面BFC，
∴AD∥平面BFC.
∴AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l.
∵EP⊥平面ABCD，∴EP⊥AD，而AD⊥AB，
AB∩EP＝P，∴AD⊥平面EAB，∴l⊥平面FAB.
∴∠AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角．
∵P是AB的中点，且FP⊥AB，
∴当∠AFB＝90°时，FP＝AP.
∴当FP＝AP，即＝1时，平面AFD⊥平面BFC.
20．(2021·浙江卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．
(1)证明：BD⊥平面APC；
(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；
(3)若G满足PC⊥平面BGD，求的值．
(1)证明 设点O为AC，BD的交点．
由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．
∴O为AC的中点，BD⊥AC.
又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD.PA∩AC＝A.
∴BD⊥平面APC.
(2)解 连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．
在△ABC中，AC＝＝2 .
∴OC＝AC＝.
在直角△OCD中，OD＝＝2.
又OG＝PA＝，
在直角△OGD中，tan ∠OGD＝＝.
∴DG与平面APC所成的角的正切值为.
(3)解 ∵PC⊥平面BGD，OG⊂平面BGD，
∴PC⊥OG.
在Rt△PAC中，PC＝＝.
∴GC＝＝.
从而PG＝，所以＝.
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