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课时作业12 函数模型及其应用
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．(2022·宝鸡调研)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家猜想经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( )
解析：由题意可得y＝(1＋10.4%)x.
答案：D
2.(2022·青岛月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．10元 B．20元
C．30元 D.元
解析：设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
答案：A
3．(2022·太原模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：由题图可得营运总利润y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润＝－x－＋12，
∵x∈N＋，∴≤－2＋12＝2，
当且仅当x＝，即x＝5时取“＝”．
∴x＝5时营运的年平均利润最大．
答案：C
4．(2022·山西临汾一模，11)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优待10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108，故选D.
答案：D
5．(2022·汕头模拟，6)一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则确定正确的是( )
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
解析：由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量削减速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量削减速度也是0，故③不正确．
答案：A
6．(2022·长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经受了n次涨停(每次上涨10%)，又经受了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏状况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利 B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损 D．无法推断盈亏状况
解析：设该股民购这支股票的价格为a，则经受n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经受n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．
答案：B
7.
(2022·南昌联考)一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图像是( )
解析：由题意得2xy＝20，即y＝，当x＝2时，y＝5，当x＝10时，y＝1时，排解C、D，又2≤x≤10，排解B.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．有一批材料可以建成200 m长的围墙，假如用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________．(围墙厚度不计)
解析：设矩形的宽为x m.
则矩形的长为(200－4x)m(0<x<50)，
面积S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2 500.
故当x＝25时，S取得最大值2 500(m2)．
答案：2 500(m2)
9．(2022·新余检测)按如图所示放置的一边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则y＝f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为________．
解析：将P点移到原点，开头运动，当P点第一次回到x轴时经过的曲线是三段首尾相接的圆弧，它与x轴围成的区域面积为＋＋＝π＋1.
答案：π＋1
10．(2021·湖南，16)设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.
(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；
(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出全部正确结论的序号)
①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；
②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.
解析：(1)由定义及三角形三边间的关系．
2a≤c，又∵f(0)＝1>0，f(1)＝2a－c≤0，
∴f(x)零点的取值集合为{x|0<x≤1}．
(2)对于①，f(x)＝cx[()x＋()x－1]，∵0<<1，0<<1，且当x∈(－∞，1)时，()x>，()x>，且>1，∴f(x)>0，②如a＝2，b＝2，c＝3，则a3＋b3<c3，故存在x＝3使得a3，b3，c3不能构成三角形，③f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a2＋b2－c2<0，故存在x∈(1,2)，使f(x)＝0.
答案：(1){x|0<x≤1} (2)①②③
三、解答题(共3小题，11题15分，12题15分，13题20分，共50分。解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(2022·深圳模拟)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．
(2)设每辆车的月租金为x元(x≥3 000)，租赁公司的月收益为y元，
则y＝x－×50－×150
＝－＋162x－21 000
＝－(x－4 050)2＋307 050，
当x＝4 050时，ymax＝307 050.
所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．
12．(2022·济宁模拟)某单位有员工1 000名，平均每人每年制造利润10万元．为了增加企业竞争力，打算优化产业结构，调整出x(x∈N＋)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年制造利润为10万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年制造的利润可以提高0.2x%.
(1)若要保证剩余员工制造的年总利润不低于原来1 000名员工制造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2)在(1)的条件下，若调整出的员工制造的年总利润始终不高于剩余员工制造的年总利润，则a的取值范围是多少？
解：(1)由题意得：10(1 000－x)(1＋0.2x%)≥10×1 000，
即x2－500x≤0，又x>0，所以0<x≤500.
即最多调整500名员工从事第三产业．
(2)从事第三产业的员工制造的年总利润为10x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x)(1＋0.2x%)万元，则10x≤10(1 000－x)(1＋0.2x%)，所以ax－≤1 000＋2x－x－x2，
所以ax≤＋1 000＋x，
即a≤＋＋1恒成立，
由于x＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝500时等号成立．
所以a≤5，又a>0，所以0<a≤5，即a的取值范围为(0,5]．
13．(2022·徐州模拟)某学校要建筑一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．
(1)设半圆的半径OA＝r(米)，设建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S(r)；
(2)由于条件限制r∈[30,40]，问当r取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)
解：(1)塑胶跑道面积
S＝π[r2－(r－8)2]＋8××2
＝＋8πr－64π.∵πr2<10 000，∴0<r<.
(2)设运动场的造价为y元，
y＝150×
＋30×
＝300 000＋120×－7 680π.
令f(r)＝＋8πr，
∵f′(r)＝8π－，
当r∈[30,40]时，f′(r)<0，
∴函数y＝300 000＋120×－7 680π在[30,40]上为减函数．∴当r＝40时，ymin≈636 510，
即运动场的造价最低为636 510元．
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