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2021届高三自命题考试二
数学（理 科）试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 设i为虚数单位，若，则( )
A．1 B． 2 C． 3 D．4
2. 若都为命题，则“或为真命题”是“且为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3，已知三点，则向量在向量方向上的投影为（ ）
1
正（主）视图
1
1
A． B． C． D．
4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，
则其侧面积等于
A. B. C. D.
5.右边程序框图中，若输入，，则输出的值
别是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是
A. B. C. D.
7. 如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线，P为垂线上任一点，则等于（ ）
A．－ B. C．－ D.
8.若函数，且，的最小值是，则的单调递增区间是（ ）
A. B .
C． D．
9. 设偶函数对任意都有，且当时，，则 （ ）
A．10 B． C． D．
10.设f(x)是开放式的中间项，若f(x)≤mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(－∞，5) B．(－∞，5] C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
11. 已知抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：（a>0，b>0）渐近线的距离为 点P是抛物线y2 ＝8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=-2 的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为
A. B. C. D.
12. 设函数y＝f(x)在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝若函数f(x)＝，且恒有fK(x)＝f(x)，则
A．K的最大值为 B．K的最小值为 C．K的最大值为2 D．K的最小值为2
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知等差数列中，,那么 .
14. 设若，则 ．
15. 在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别
为 则三棱锥A-BCD的外接球体积为____________.
16.已知圆C的方程为，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是____________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列。
（Ⅰ） 求数列的通项公式；（Ⅱ） 设,数列的前项和为,求证:。
18. （本小题满分12分）如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线翻折，得到如图2所示的几何体，使得＝．
图1
图2
(Ⅰ) 求证：；
(Ⅱ) 若在上存在点，使得，
求二面角的余弦值．
19.（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，市发改委通过听众会，打算实施低峰优待票价制度.不超过公里的地铁票价如下表：
乘坐里程（单位：）
票价（单位：元）
现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过公里.已知甲、乙乘车不超过公里
的概率分别为，，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为， .
（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．
20.(本小题满分12分) 已知点为轴上的动点，点为轴上的动点。点为定点，且满足，
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程。
（Ⅱ）是上的两个动点，为的中垂线，求当的斜率为2时，在轴上的截距的范围。
21.（本小题满分共12分）已知。 设。
（Ⅰ）求在上的最大值。
（Ⅱ）当时，试比较与的大小，并证明。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当，时，求的长．
23．（本小题满分分）选修：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为(为参数)，与分别交于.
（Ⅰ）写出的平面直角坐标系方程和的一般方程；
（Ⅱ）若成等比数列，求的值.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数.（Ⅰ）解关于的不等式;
（Ⅱ）设的解集非空,求实数的取值范围.
高三数学（理科 ）参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．A. 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9。C 10．D 11．C 12．B
二、填空题 13． 14． 1 15． 16．
三、解答题17.解：（1）由已知：对于，总有 ①成立
∴ （n ≥ 2）②
①-②得, ∴∵均为正数，∴ （n≥2）∴数列是公差为1的等差数列.
又n=1时，， 解得=1, ∴.()
(2) 由（1）可知,
18.解：（Ⅰ）当时，，，∴，又，
∴平面，而平面，∴．
（Ⅱ）如图，以为原点，所在直线为轴，所
在直线为轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）知，又，
∴平面，∵平面，∴平面⊥平面，
过作，则轴，在中，，，可得．
故，∵，∴为中点，∴．
设平面的法向量为，则∴
即 取，则，又平面的法向量为，则＝＝．故二面角的余弦值为．
19.解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为，
则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率
所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率
（Ⅱ）由题意可知，则
所以的分布列为
则
20.解：：（1）设动点N的坐标为（x,y）.P(0,b),M(a,0).则：
,.由，可得：
（2）设,.方程为，则：的方程为：
由可得： ，
的中点坐标为
故：
21.解： （1）由题设可知:
由可得：
若时，在递增。
若时，在递减，在递增
而
当时，
当时，
若时，在递减，
综上可知：
（2）当时，，
①当时，明显有 ②当时，明显有，
记时， 在递增，而
故：>
22．（Ⅰ）连接,由于是圆内接四边形，所以
又∽,即有
又由于，可得由于是的平分线，所以,从而
（Ⅱ）由条件知，设，
则，依据割线定理得,
即即，解得或（舍去），则
23． (Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)；直线l的一般方程为x－y－2＝0．
(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2－2(4＋a) t＋8(4＋a)＝0 (*) △＝8a(4＋a)＞0．
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有
(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．由于a＞0，所以a＝1．
24.解:(I)由题意原不等式可化为: ，即:或
由得或 由得或
综上原不等式的解集为
(II)原不等式等价于的解集非空
令,即,
由 , 所以所以
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