资源描述
8相关关系
基础自测
1.下列关系中，是相关关系的为 （ ）
①同学的学习态度与学习成果之间的关系；
②老师的执教水平与同学的学习成果之间的关系；
③同学的身高与同学的学习成果之间的关系；
④家庭的经济条件与同学的学习成果之间的关系.
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
答案A
2.为了考察两个变量x、y之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和l2.已知在两人的试验中发觉变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s,变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t,那么下列说法中正确的是 （ ）
A.直线l1,l2有交点（s,t)
B.直线l1,l2相交，但是交点未必是(s,t)
C.直线l1,l2由于斜率相等，所以必定平行
D.直线l1,l2必定重合
答案 A
3.下列有关线性回归的说法，不正确的是 （ ）
A.相关关系的两个变量不愿定是因果关系
B.散点图能直观地反映数据的相关程度
C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D.任一组数据都有回归直线方程
答案 D
4.下列命题：
①线性回归方法就是由样本点去查找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；
②利用样本点的散点图可以直观推断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；
③通过回归直线y=b+a及回归系数b,可以估量和猜想变量的取值和变化趋势.
其中正确的命题是 （ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
答案D
5.已知线性回归方程为y=0.50x-0.81,则x=25时，y的估量值为 .
答案 11.69
例1 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
（1）将上述数据制成散点图；
（2）你能从散点图中发觉施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会始终随施化肥量的增加而增长吗？
解 （1）散点图如下：
（2）从图中可以发觉施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的四周，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在确定范围内随着化 肥施用量的增加而增长.
例2 （12分）随着我国经济的快速进展，城乡居民的生活水平不断提高，为争辩某市家庭平均收入与月平均生活支出
的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：
家庭编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi（收入）千元
0.8
1.1
1.3
1.5
1.5
1.8
2.0
2.2
2.4
2.8
yi（支出）千元
0.7
1.0
1.2
1.0
1.3
1.5
1.3
1.7
2.0
2.5
（1）推断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？
（2）若二者线性相关，求回归直线方程.
解 （1）作出散点图：
4分
观看发觉各个数据对应的点都在一条直线四周，所以二者呈线性相关关系. 6分
（2）= (0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74,
=（0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5）=1.42， 8分
b=≈0.813 6，
a=1.42-1.74×0.813 6≈0.004 3， 11分
∴线性回归方程y=0.813 6x+0.004 3. 12分
例3 下表供应了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组
对比数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请依据上表供应的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试依据（2）求出的线性回归方程，猜想生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
解 （1）散点图如下图:
（2）==4.5,==3.5
=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5.
=32+42+52+62=86
∴b===0.7
a=-b=3.5-0.7×4.5=0.35.
∴所求的线性回归方程为y=0.7x+0.35.
（3）现在生产100吨甲产品用煤
y=0.7×100+0.35=70.35，
∴降低90-70.35=19.65吨标准煤.
1.科研人员为了全面把握棉花新品种的生产状况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm,℃)，并作了统计.
年平均气温
12.51
12.84
12.84
13.69
13.33
12.74
13.05
年降雨量
748
542
507
813
574
701
432
（1）试画出散点图；
（2）推断两个变量是否具有相关关系.
解 （1）作出散点图如图所示，
(2)由散点图可知，各点并不在一条直线四周，所以两个变量是非线性相关关系.
2.在争辩硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：
温度(x)
0
10
20
50
70
溶解度（y)
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由资料看y与x呈线性相关，试求回归方程.
解 =30,==93.6.
b=≈0.880 9.
a=-b=93.6-0.880 9×30=67.173.
∴回归方程为y=0.880 9x+67.173.
3.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：
月份
产量（千件）
单位成本（元）
1
2
73
2
3
72
3
4
71
4
3
73
5
4
69
6
5
68
（1）求出线性回归方程；
（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？
（3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？
解 （1）n=6，=21，=426，=3.5,=71,
=79，=1 481，
b ===-1.82.
a=-b=71+1.82×3.5=77.37.
回归方程为y=a+bx=77.37-1.82x.
（2）由于单位成本平均变动b=-1.82＜0,且产量x的计量单位是千件,所以依据回归系数b的意义有:
产量每增加一个单位即1 000件时,单位成本平均削减1.82元.
(3)当产量为6 000件时,即x=6,代入回归方程:
y=77.37-1.82×6=66.45（元）
当产量为6 000件时，单位成本为66.45元.
一、选择题
1.观看下列散点图，则①正相关；②负相关；③不相关.它们的排列挨次与图形相对应的是 （ ）
A.a—①,b—②,c—③ B.a—②,b—③,c—①
C.a—②,b—①,c—③ D.a—①,b—③,c—②
答案D
2.回归方程y=1.5x-15,则 （ ）
A.=1.5-15 B.15是回归系数a
C.1.5是回归系数a D.x=10时，y=0
答案 A
3.（2008·湛江模拟）某地区调查了2～9岁儿童的身高，由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是 （ ）
A.该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm
B.该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm
C.该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cm
D.利用这个模型可以精确地预算该地区每个2～9岁儿童的身高
答案 B
4.三点（3，10），（7，20），（11，24）线性的回归方程是 （ ）
A.y=-5.75+1.75x B.y=1.75x+5.75
C.y=-1.75x+5.75 D.y=-1.75x-5.75
答案B
5.某人对一地区人均工资x(千元）与该地区人均消费y(千元）进行统计调查，y与x有相关关系，得到回归直线方程y=0.66x+1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，估量该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ）
A.66% B.72% C.67% D.83%
答案D
6.某化工厂为猜想产品的回收率y,需要争辩它和原料有效成分含量x之间的相关关系,现取8对观测值,计算,得=52, =228, =478, =1 849,则其线性回归方程为 （ ）
A.y=11.47+2.62x B.y=-11.47+2.62x
C.y=2.62+11.47x D.y=11.47-2.62x
答案A
二、填空题
7.有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财宝之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系.其中，具有相关关系的是 .
答案 ①③④
8.已知关于某设备的使用年限x与所支出的修理费用y(万元），有如下统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
修理费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若y对x呈线性相关关系，则回归直线方程y=bx+a表示的直线确定过定点 .
答案 （4，5）
三、解答题
9.期中考试结束后，记录了5名同学的数学和物理成果，如下表：
同学
学科
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
（1）数学成果和物理成果具有相关关系吗？
（2）请你画出两科成果的散点图，结合散点图，生疏（1）的结论的特点.
解 （1）数学成果和物理成果具有相关关系.
（2）以x轴表示数学成果，y轴表示物理成果，可得相应的散点图如下：
由散点图可以看出，物理成果和数学成果对应的点不分散，大致分布在一条直线四周.
10.以下是某地搜集到的新居屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积x（m2)
115
110
80
135
105
销售价格y(万元）
24.8
21.6
18.4
29.2
22
（1）画出数据对应的散点图；
（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线.
解 （1）数据对应的散点图如图所示：
（2）=109,=23.2,=60 975,
=12 952,
b=≈0.196 2
a=-b≈1.814 2
∴所求回归直线方程为y=0.196 2x+1.814 2.
11.某公司利润y与销售总额x(单位：千万元）之间有如下对应数据：
x
10
15
17
20
25
28
32
y
1
1.3
1.8
2
2.6
2.7
3.3
（1）画出散点图；
（2）求线性回归线方程；
（3）估量销售总额为24千万元时的利润.
解 （1）散点图如图所示：
（2)=(10+15+17+20+25+28+32)=21,
=(1+1.3+1.8+2+2.6+2.7+3.3)=2.1,
=102+152+172+202+252+282+322=3 447,
=10×1+15×1.3+17×1.8+20×2+25×2.6+28×2.7+32×3.3=346.3,
b==≈0.104,
a=-b=2.1-0.104×21=-0.084,
∴y=0.104x-0.084.
(3)把x=24(千万元）代入方程得，
y=2.412（千万元）.
∴估量销售总额为24千万元时，利润为2.412千万元.
12.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元）之间有如下对应数据:
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）画出散点图；
（2）求线性回归方程；
（3）试猜想广告费支出为10百万元时，销售额多大？
解 （1）依据表中所列数据可得散点图如下：
（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
因此，==5,= =50,
=145, =13 500, =1 380.
于是可得：b===6.5;
a=-b=50-6.5×5=17.5.
因此，所求回归直线方程为：y=6.5x+17.5.
（3）依据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，y=6.5×10+17.5=82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元.
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