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第2讲 二元一次不等式(组)与简洁的线性规划问题
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·泰安模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为
( )
A．1 B. C. D.
解析 作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝.
答案 D
2．(2022·湖北卷)若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是
( )
A．2 B．4 C．7 D．8
解析 画出可行域如图(阴影部分)．
设目标函数为z＝2x＋y，由解得A(3,1)，当目标函数过A(3,1)时取得最大值，∴zmax＝2×3＋1＝7，故选C.
答案 C
3．(2021·陕西卷)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为
( )
A．－6 B．－2 C．0 D．2
解析 如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－2,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6.
答案 A
4．(2022·成都诊断)在平面直角坐标系 xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为
( )
A．2 B．1
C. D.
解析 作出可行域如图所示，当点P位于的交点(1,1)时，(kOP)max＝1，故选B.
答案 B
5．(2021·济南模拟)已知变量x，y满足约束条件目标函数z＝x＋2y的最大值为10，则实数a的值为
( )
A．2 B.
C．4 D．8
解析 结合图形求解．作出不等式组对应的平面区域，当目标函数经过点(a，a－1)时取得最大值10，所以a＋2(a－1)＝10，解得a＝4，故选C.
答案 C
二、填空题
6．(2021·日照调研)若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
解析 平面区域A如图所示，所求面积为S＝×2×2－××＝2－＝.
答案
7．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
解析 如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线x＋y－2＝0的垂线段长是|OM|的最小值，
∴|OM|min＝＝.
答案
8．(2021·杭州调研)设x，y满足约束条件若目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)的最大值为35，则a＋b的最小值为________．
解析 可行域如图所示，当直线abx＋y＝z(a＞0，b＞0)过点B(2,3)时，z取最大值2ab＋3，于是有2ab＋3＝35，ab＝16，所以a＋b≥2＝2＝8，当且仅当a＝b＝4时等号成立，所以(a＋b)min＝8.
答案 8
三、解答题
9．(2021·合肥模拟)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x，y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
解 (1)不等式组
表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得
x∈，y∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组知
当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；
当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；
当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；
当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；
当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；
∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
10．制订投资方案时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能消灭的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，依据猜测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人方案投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解 设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大．
这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组得x＝4，y＝6，
此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，
所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11．(2022·福建卷)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )
A．5 B．29 C．37 D．49
解析 由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1.明显当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时，amax＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.
答案 C
12．(2021·舟山联考)已知实数x，y满足不等式组若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为
( )
A．(－∞，－1) B．(0,1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析 作出不等式组对应的平面区域BCD，由z＝y－ax，得y＝ax＋z，要使目标函数y＝ax＋z仅在点(1,3)处取最大值，则只需直线y＝ax＋z仅在点B(1,3)处的截距最大，由图象可知a＞kBD，由于kBD＝1，所以a＞1，即a的取值范围是(1，＋∞)．
答案 D
13．(2021·浙江卷)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
解析 约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC，其中点A(4,4)，B(0,2)，C(2,0)．目标函数z＝kx＋y，化为y＝－kx＋z.当－k≤，即k≥－时，目标函数z＝kx＋y在点A(4,4)取得最大值12，故4k＋4＝12，k＝2，满足题意；当－k>，即k<－时，目标函数z＝kx＋y在点B(0,2)取得最大值12，故k·0＋2＝12，无解，综上可知，k＝2.
答案 2
14．(2021·湖北卷改编)某客运公司用A、B两种型号的车辆担当甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天来回一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
解 设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，相应营运成本为z元，则z＝
1 600x＋2 400y.由题意，得x，y满足约束条件
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．
由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上的截距最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．
15．变量x，y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
解 由约束条件作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．
由解得A.
由解得C(1,1)．
由解得B(5,2)．
(1)∵z＝＝.∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观看图形可知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.
故z的取值范围是[2,29]．
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8.
故z的取值范围是[16,64].
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