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课时作业49 椭圆
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．椭圆＋＝1的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：e＝＝.
答案：D
2．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A.∪ B.
C. D.
解析：化为＋＝1，
∴－>>0，故选C.
答案：C
3．(2021·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，
∴两式相减得，
＝，
即
＝，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
∴k＝＝，
又∵k＝＝ ∴＝
又∵c2＝a2－b2＝2b2－b2＝b2，c2＝9，
∴b2＝9，a2＝18，
即标准方程为＋＝1，故选D.
答案：D
4．(2022·江西)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.－2
解析：由于A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.
又由于|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，
所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.
所以离心率e＝＝，故选B.
答案：B
5．(2022·兰州调研)“－3<m<5”是“方程＋＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：要使方程＋＝1表示椭圆，应满足解得－3<m<5且m≠1，因此“－3<m<5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．
答案：B
6．(2021·莱芜期中)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则·的最小值为( )
A. B．3
C．8 D．15
解析：设P(3cosθ，sinθ)(0≤θ<2π)，
∵F(－2,0)，∴＝(3cosθ＋2，sinθ)，＝(3cosθ，sinθ)．∴·＝(3cosθ＋2)×3cosθ＋5sin2θ＝4(cosθ＋)2＋≥.
答案：A
7．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈(，1)，则实数m的取值范围是( )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(0，)∪(，＋∞) D．(，1)∪(1，)
解析：椭圆标准方程为x2＋＝1.当m>1时，e2＝1－∈(，1)，解得m>；当0<m<1时，e2＝＝1－m∈(，1)，解得0<m<，故实数m的取值范围是(0，)∪(，＋∞)．
答案：C
8．(2021·大纲理，8)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A．[，] B．[，]
C．[，1] D．[，1]
解析：如图：
直线A2M的方程为y＝－(x－2)＝2－x
代入椭圆方程＋＝1
3x2＋4y2＝3x2＋4(4－4x＋x2)＝12
整理得7x2－16x＋4＝0
∴2＋x＝，∴x＝.
∴M点坐标为(，)
同理可得N点坐标为(，)
∵KA1M＝＝
KA1N＝＝.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2022·青岛模拟)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．
解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，
∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
10．(2022·佛山模拟)在等差数列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，则椭圆C：＋＝1的离心率为________．
解析：由题意，得a4＝10，设公差为d，则a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝＝.
答案：
11．已知P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，若·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为________．
解析：∵·＝0，∴PF1⊥PF2，
又tan∠PF1F2＝，令PF2＝PF1＝x，
则，∴，
∴e＝＝.
答案：
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．(2022·陕西理，19)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解：由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，则a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)设A，B两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝，
由＝2，得x＝，y＝，
将x，y代入＋＝1中，得＝1，
即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1.
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
13．(2022·南京一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．
解：(1)由题意知，b＝＝.
由于离心率e＝＝，
所以＝＝.
所以a＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝x＋1，①
直线QN的方程为y＝x＋2.②
法一：联立①②解得x＝，y＝，
即T(，)．由＋＝1，可得x＝8－4y.
由于()2＋()2＝
＝
＝＝＝1，
所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
法二：设T(x，y)，联立①②解得x0＝，y0＝.
由于＋＝1，所以()2＋()2＝1.
整理得＋＝(2y－3)2，
所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
14．(2021·新课标Ⅱ理，20)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形面积的最大值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
＋＝1，＋
＝1，＝－1，
由此可得＝－＝1，
由于x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，
所以a2＝2b2，
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为＋＝1.
(2)由解得
或
因此|AB|＝.
由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n(－<n<)，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是x3,4＝.
由于直线CD的斜率为1，
所以|CD|＝|x4－x3|＝.
由已知，四边形ACBD的面积
S＝|CD|·|AB|＝.
当n＝0时，S取得最大值，最大值为.
所以四边形ACBD面积的最大值为.
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