上海各区高三二模数学填选难题汇总(word版)教学文稿.doc

上海各区高三二模数学填选难题汇总(word版)

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2016年上海市高三二模数学填选难题解析
2016-5-5
1. 虹口
13.（理）假设某10张奖券中有一等奖1张，奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价
值50元；其余6张没有奖；现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于
其数学期望的概率为
【解析】数学期望，只要抽中一等奖或二等奖，总价值就会
大于数学期望，其反面情况是没有抽中任何奖品，∴；
13.（文）设函数（其中，），若不等式的解
集为，则实数的取值范围为
【解析】若，结合图像可知，解集不可能
出现，∴，此时递增，∵，
∴，即取值范围为；
14.（理）对任意和，恒
成立，则实数的取值范围为
【解析】根据题意，即恒
成立，即求不等式右边的最小值，右边
，
而即点到点
的距离的平方，结合图像可知，距离最小值，∴；
14.（文）在直角坐标平面，定点、和动点满足，
则点构成的区域面积为
【解析】据题意，且，设点，
即，，∴，，
∴点构成的区域如图所示，面积为；
18.（理）已知点列均在函数上，点列满
足，若中任意连续三项能构成三角形三边，则的范围为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】∵，∴点在线段的中垂线上，∵、
，∴，，∵中任意连续三项能构成三角形的三边，
∴若，，即，解得；若，即满足
，∴，解得，综上，选B；
18.（文）已知上存在关于直线对称的两点、，则等于（ ）
A. B. C. D.
【解析】可知直线斜率为1，点差得，
∴，中点坐标，直线
方程为，联立抛物线可解得，，，
∴，选B；

2. 黄浦
13.（文）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别
标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是
【解析】取出的红、黄、蓝三球，若分别给它们编号1、2、3，共有种情况，∴；
13.（理）正整数、满足，若关于、方程组
有且只有一组解，则的最大值为
【解析】如图所示，共有4段，
斜率依次为、、、，∵直线斜率
为，结合图像可知，在处，两图像有唯一交点，即
，∴，最大值为；
14.（理）已知数列中，若，，则满
足的的最小值为
【解析】根据题意，数列为，
易知若，则，∴，，即；
18.（文）全集，集合，
若中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐
标轴、直线均对称，且，则中元素个
数至少有（ ）
A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个
【解析】如图所示，元素个数至少8个；
18.（理）若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【解析】根据题意，要满足，在上分别画
出、、和的图像，结合图像可知，当
时，满足真数大于零，即有个开区间，；
【附】在上的图像，已按适当比例伸展；

3. 杨浦
13.（文）若关于的方程在内恰有四个相异实根，则实数
的取值范围为
【解析】设，分区间讨
论，当，，当，
，画出函数图像如图所示，当
或，函数有最小值，当，，
结合图像可知，要有四个交点，；
13.（理）若关于的方程在内恰有三个相异实根，则实数
的取值范围为
【解析】本题和上题类似，分区间讨论，当，
，当，，画
出函数图象如图所示，当，，当
，，要有三个交点，；
14. 课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法，祖暅原理也可用来求旋转体的体
积，现介绍用祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的
圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样
一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式，请研究和理解球的体积
公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕轴
旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于

【解析】构造模型如图，设，
则，∴，
，，，
据祖暅原理；
18.（理）已知命题：“若、为异面直线，平面过直线且与直线平行，则直线与
平面的距离等于异面直线、的距离”为真命题；根据上述命题，若、为异面直线，
且它们之间距离为，则空间中与、均异面且距离也均为的直线有（ ）
A. 0条 B. 1条 C. 多于1条，但为有限条 D. 无数条
【解析】构造边长为的正方体，如图所示，满足
、为异面直线且它们之间距离为，以的上
端点为圆心，为半径，在上底面所在平面画圆，
可知该圆的切线除平行情况外，均满足与、均
异面且距离均为，所以有无数条，选D；

4. 奉贤
13.（理）在棱长为1的正方体中，
若点是棱上一点，则满足的点的
个数
【解析】假设在上，易得
，即，必然存在
一点，使得；当然，如果愿意，也可以算出点位置，设，那么
，∵，∴，即，解得，即
为中点，同理，、、、、的中点也满足，∴共有6个；
14.（理）若数列前项和满足（，），且满足，
单调递增，则的取值范围是
【解析】∵，∴，作差得，
，∴，再作差得，即奇数项（除外）是递增的等
差数列，偶数项也是递增的等差数列，要满足全数列递增，只需，，
代入可得，，，可解得；
本题需注意的是等式右边有非零常数项，是不满足数列一般规律的；
14.（文）若数列满足（，），，单调递增，
则的取值范围是
【解析】同上题，且无需考虑是否特殊，同样要满足，，代入
可得，，，可解得；
17.（理）设，，，则以为直径的圆面积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】
∴，∴圆面积为，选B；
18.（理）方程（）有两个负实数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 前三个都不正确
【解析】设，，∴在有两个不同解，作出图像如图，
左图需满足经过点，解得，右图需满足与相
切，即，，解得，∴，选B；

18.（文）方程（）有一个正实数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 前三个都不正确
【解析】同上题，设，∴在有一个解，作出图像如图，左
图需满足经过点，解得，右图需满足经过点，解得
，∴，选A；

5. 长宁嘉定宝山青浦
13.（理）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对
得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有2道题的选项
不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为
【解析】列举即可，假设答案均为A，甲选18A2B，得54分；① 若乙选20A，得60分；
② 若乙选19A1C，得57分；③ 若乙选18A2C，得54分；④ 若乙选17A1B2C，得51分；
⑤ 若乙选16A2B2C，得48分；∴集合为；
14.（文）对于函数，其中，若的定义域与值域相同，则非零
实数的值为
【解析】如图，若，，定义域，值域，明显
不同，∴，此时定义域，值域，∴，∴；

14.（理）已知，函数（）的图像的两个端点分别为、，
设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点
，若恒成立，则的最大值是
【解析】由已知可得，，∴直
线，设，
则，，
，即，解得，即最大值为；
18.（理）已知函数，若存在实数、、、满足
，其中，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.

【解析】作出函数图像，由图可知，，∴，，可设
，，，∴，选B；
此类型题在往年模考题中出现较多，要注意总结方法；
6. 浦东
13.（理）任意实数、，定义，设函数，数列
是公比大于0的等比数列，且，
，则
【解析】根据定义，∴，设公比
为，则，，∴，同理，以此类推，∴
，若，，
不符，∴，∴，解得；
13.（文）已知函数，数列是公比大于0的等比数列，且满足，
，则
【解析】∵，∴，设公比为，则，，可得
，类推可得，
即，，解得；
14.（理）关于的方程在上解的个数是
【解析】分区间讨论画出函数图像如图所示，由图可知，在上共有个
周期，除了这个周期只有1个交点，其他每个周期内都有2个交点，∴个数为4031；

14.（文）关于的方程在上解的个数是
【解析】同上图，在上共有6个周期，共有个交点，∴个数为11个；
18. 已知平面直角坐标系中有两个定点、，如果对于常数，在已知函数
（）的图像上有且只有6个不同的点，使得等式
成立，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

【解析】分区间讨论函数，当，，设，∴
；当，，设，∴
；当，，设，∴
；作出该三段函数如右图所示，
由图可知，当时，直线与函数有6个交点，故选C；

7. 闵行
13.（理）设数列的前项和为，，则使得
恒成立的的最大值为
【解析】作差可得，当，
，当，，∵，∴当，恒成
立，∴只要满足即可，∴，解得，即最大值为；
13.（文）设数列的前项和为，，数列为递增
数列，则实数的取值范围
【解析】作差得，当，，
为递增数列，∴只需满足，即，解得；
14.（理）若两函数与的图像有两个交点、，是坐标原点，
是锐角三角形，则实数的取值范围是

【解析】分析函数可知，当逐渐变大，的变化趋势：钝角→直角→锐角→直角→
钝角，∴只需确定为直角三角形时，的两个临界值；① 如左图所示，为
直角，联立两个函数得，，，
，，解得；
② 如右图所示，为直角，则直线，联立得，
代入，解得；综上所述，为锐角三角形时，；
14.（文）若两函数与的图像有两个交点、，是坐标原点，
当是直角三角形时，则满足条件的所有实数的值的乘积为
【解析】同上题，或，∴乘积为；
18.（理）若函数的图像向右平移个单位后得到函数的
图像，若对满足的、，有的最小值为，则（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【解析】∵，∴或，不妨设（设
其实也是一样的），且设，则，∴，根据题意，
，∴或，
∵，可解得或，选C，结合下图分析更直观；

18.（文）若函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的、，的最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】同上题，选C；
8. 普陀
12. 如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同
的点、、…、，记（，），则

【解析】考查向量积几何意义，如右图，，
∴；
13. 设函数，记，若函数有且仅有两个零点，
则实数的取值范围是
【解析】设，
∴，零点问题转化
为交点问题，即与的交点个数
为2，结合图像分析，当直线截距小于2时，一
直会有两个交点，即，∴；这也是往年普陀区模考旧题；
14. 已知，从集合中选出个数，，…，，使之
同时满足两个条件：①；②，则称数
组为从个元素中选出个元素且限距为的组合，其组合数记为，
例如根据集合可得，给定集合，可得
【解析】理解题目意思，即求从7个元素中选出3个元素且限距为2的组合情况数量，直接
枚举法，、、、、、、、、
、，共10个，即；
18. 对于正实数，记是满足下列条件的函数构成的集合，对于任意且
，都有成立，下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，且，则
C. 若，，则
D. 若，，且，则
【解析】根据题意，若，则满足，
若，则满足，两个不等式相加可得，
，观察可得，函数
，故选C；

9. 徐汇松江金山
13.（理）定义在上的奇函数，当时，，则
关于的函数（）的所有零点之和为 （结果用表示）

【解析】画出图像如图所示，零点依次为、、、、，由图像及对称性可
知，，，∴零点之和为，∴，；
13.（文）有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下“在中，角、
、所对的边分别为、、，已知，， ，求角；”经推
断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示，试将条件补充完整
【解析】根据题意，应填或的长度，由正弦定理，可解得，但若
根据“，，”，可算得或，不符题意；由余弦定理，
，可解得，即填；
14.（理）对于给定的正整数和正数，若等差数列，，，… 满足，
则的最大值为
【解析】根据题意，，不妨设，，
，
，利用三角换元、辅助角公式，简化转换关系；
14.（文）定义在上的奇函数，当时，，则
关于的函数（）的所有零点之和为 （结果用表示）
【解析】同13（理）；
18. 设、是关于的方程的两个不相等的实数根，那么过两点
、的直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 随的变化而变化
【解析】，，，一般式为
，，
，，∴，故选C；

10. 闸北
9.（理）如图，、是直线上两点，，
两个半径相等的动圆分别与相切于、两点，
是这两个圆的公共点，则圆弧、圆弧
与线段围成图形面积取值范围是
【解析】本题是往年高考题，理解题意后，如图，确定两个极限位置：① 当两个动圆无限
变大，趋近于零；② 当两动圆刚好相切，有最大值，最大值面积为一个长方形减去一
个半圆，即；∴取值范围为；

9.（文）已知函数，则关于的方程的
实根的个数是 个
【解析】由或
，作出图像，如图所示，
有2个交点，有3个交点，共5个实根；
10.（理）设函数，对任意，
恒成立，则实数的取值范围是
【解析】依题意得，，去括号移项化简得，
，设，，结合图像得
，∴，解得，即；
10.（文）设函数，对任意，恒成立，则实数
的取值范围是
【解析】依题意得，，化简得，分类讨论：① 当
，∴，不能恒成立；② 当，则，即，
解得，∴，即；
13. 已知数列的前项和为，对任意正整数，，则下列关于的论断
中正确的是（ ）
A. 一定是等差数列 C. 可能是等差数列，但不会是等比数列
B. 一定是等比数列 D. 可能是等比数列，但不会是等差数列
【解析】，∴，∴，即，，
∴数列为、、、、…，当，所有项都为，为等差数列，当
，既不可能是等差数列，也不可能为等比数列，故选C；

11. 静安
13.（理）已知数列满足，（），则数列
的前项和的最大值为
【解析】若为偶数，，即偶数
项成等差，公差为；若为奇数，，
即奇数项成等比，公比为；∴，∴奇数项均为正，但越来越小，
偶数项从开始小于零，且从开始，相邻的两项之和总为负，∴最大值
；
14. 设的实系数不等式对任意恒成立，则

【解析】当，可得；当，若取一个极大的正数，明
显不能恒成立，∴；∴原不等式等价于，结合数轴标根
法，当时，对任意，恒成立，∴；
18.（文）已知实数，满足，则
的最大值为（ ）
A. 17 B. 15 C. 9 D. 5
【解析】画出可行域如图阴影部分所示，分别代
入3个顶点，可知当，时，目标函
数取到最大值为17，故选A；
18.（理）袋中装有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，现从该袋内随机取出3个球，
记被取出的球的最大号码数为，则等于（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 4.75 D. 5
【解析】，，；∴，选B；

12. 崇明
13.（文）矩形中，，，为矩形内一点，，设，
（），则取得最大值时，角的值为
【解析】如图建系，则，，
设，，∴，
，∴
，最大值为2，此时；
13.（理）矩形中，已知，，为矩形内部一点，且，若
（），则的最大值是
【解析】同13（文），最大值为2；
14.（文）是定义在上的偶函数，且对任意，，当，
，在区间上的反函数为，则
【解析】当时，；当时，根据偶函数性质，
；根据反函数相关性质，即，解得，
∴；
14.（理）已知是定义在上的函数，且，则函
数在区间上的零点个数为
【解析】作出函数图像如图所示，要求函
数的零点，即，
函数与函数的交点个数，
如图归纳可知，在区间上有个交
点，∴在上有11个交点，即零点个数为11个；
18. 函数的图像如图所示，在区间上可找得到（）个不相同的数、
、…、，使得，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.

【解析】设，结合题意，即与的交点
个数，如图所示，可能有2个交点、3个交点或4个交点，故选D；

（2016-5-5凌晨3点，终于完成~^_^~）
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