2017-2018安徽省普通高中学业水平数学试题-解析版教程文件.doc

2017_2018学年安徽省普通高中学业水平数学试题_解析版

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安徽省2018年高中数学学业水平测试卷

参考答案
1—18：D A C A C C B A C D A D B A D B B C
19—22： , , 2 ,
23. 20或110 24.(Ⅰ)【证明:】(略) (Ⅱ)
25.(1),
(2)甲投入64万元,乙投入96万元,获得最大利润56万元.

2017年安徽省普通高中学业水平测试
数学试题
一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，满分 54 分．每小题 4 个选项中，只有 1 个选项符合题目要求．）
1．已知集合 A={1，3，5}，B={﹣1，1，5}，则 A∪B 等于（ ）
A．{1，5} B．{1，3，5} C．{﹣1，3，5} D．{﹣1，1，3，5}
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
3．为研究某校高二年级学生学业水平考试情况，对该校高二年级 1000 名学生进行编号，号码为 0001，0002，0003，…，1000，现从中抽取所有编号末位数字为 9 的学生的考试成绩进行分析，这种抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
4．log2210=（ ）
A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10
5．若函数 y=f（x），x∈[﹣5，12]的图象如图所示，则函数 f（x）的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．1 D．﹣1
6．不等式（x+2）（x﹣1）＞0 的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣2 或 x＞1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜﹣1 或 x＞2} D．{x|﹣1＜x＜2}
7．圆 x2+y2+2x﹣4y+1=0 的半径为（ ）

A．1 B．√2 C．2 D．4
8．如图，在 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，若（ ）
A． D．
9．点 A（1，0）到直线 x+y﹣2=0 的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．下列函数中，是奇函数的是（ ）

A．y=2x B．y=﹣3x2+1 C．y=x3﹣x
D．y=3x2+1
11．sin72°cos63°+cos72°sin63°的值为（ ）
√
2
2
√
2
2
A．﹣1 B．1 C．﹣ D．
2 2
12．若 A 与 B 互为对立事件，且 P（A）=0.6，则 P（B）=（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
13．点 P（x，y）在如图所示的平面区域（含边界）中，则目标函数 z=2x+y 的最大值（ ）
A．0 B．6 C．12 D．18
14．直线经过点 A（3，4），斜率为﹣，则其方程为（ ）
A．3x+4y﹣25=0 B．3x+4y+25=0 C．3x﹣4y+7=0 D．4x+3y﹣24=0
15．如图，在四面体 A﹣BCD 中，AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，若 AB=BC=CD=1，则 AD=（ ）
A．1 B．√2 C．√3 D．2
16．已知两个相关变量 x，y 的回归方程是，下列说法正确的是（ ）
A．当 x 的值增加 1 时，y 的值一定减少 2
B．当 x 的值增加 1 时，y 的值大约增加 2
C．当 x=3 时，y 的准确值为 4
D．当 x=3 时，y 的估计值为 4
17．某企业 2 月份的产量与 1 月份相比增长率为 p，3 月份的产量与 2 月份相比增长率为 q
（p＞0，q＞0），若该企业这两个月产量的平均增长率为 x，则下列关系中正确的是（ ）
A．x B．x C．x＞ D．x＜
18．已知函数 f（x）=sinx﹣lnx（0＜x＜2π）的零点为 x0有 0＜a＜b＜c＜2π 使 f（a）f（b） f（c）＞0 则下列结论不可能成立的是（ ）
A．x0＜a B．x0＞b C．x0＞c D．x0＜π
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分，把答案填在题中的横线上.）
19．已知数列{an}满足 a1=2，an+1=3an﹣2，则 a3= ．
20．如图所示的程序框图，若输入的 a，b 的值分别是 3 和 5，则输出的结果是 ．
21．袋中装有质地、大小完全相同的 5 个球，其中红球 2 个，黑球 3 个，现从中任取一球，则取出黑球的概率为 ．
22．已知向量𝑎(→)，𝑏(→)满足（𝑎(→)+2𝑏(→)）•（𝑎(→)﹣𝑏(→)）=﹣6，且|𝑎(→)|=1，|𝑏(→)|=2，则𝑎(→)与𝑏(→)的夹角为 ．三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，满分 30 分.解答题应写出文字说明及演算步
骤.）
23．△ABC 内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 cos（π﹣B）．
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 a=4，c=2，求 b 和 A 的值．

24．如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，E 为 DD1的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥BD1；
（Ⅱ）证明：BD1∥平面 ACE．

25．已知函数 f（x）=ax，g（x）=b•2x的图象都经过点 A（4，8），数列{an}满足：a1=1，an=f
（an﹣1）+g（n）（n≥2）．
（Ⅰ）求 a，b 的值；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）求证：．

2017年安徽省普通高中学业水平测试
数学试题 参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，满分 54 分．每小题 4 个选项中，只有 1 个选项符合题目要求．）
1．（3 分）已知集合 A={1，3，5}，B={﹣1，1，5}，则 A∪B 等于（ ）
A．{1，5} B．{1，3，5} C．{﹣1，3，5} D．{﹣1，1，3，5}
【分析】由 A 与 B，求出两集合的并集即可．
【解答】解：∵A={1，3，5}，B={﹣1，1，5}，
∴A∪B={﹣1，1，3，5}．故选：D．
【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

2．（3 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）

A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，
从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台．故选：D．
【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

3．（3 分）为研究某校高二年级学生学业水平考试情况，对该校高二年级 1000 名学生进行编号，号码为 0001，0002，0003，…，1000，现从中抽取所有编号末位数字为 9 的学生的考试成绩进行分析，这种抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
【分析】根据系统抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：∵抽取所有编号末位数字为 9 的学生的考试成绩进行分析，
∴样本间距相同，
则满足系统抽样的定义，故选：C．
【点评】本题主要考查系统抽样的判断，比较基础．

4．（3 分）log2210=（ ）
A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10
【分析】根据对数的运算法则计算即可．
【解答】解：log2210=10log22=10，故选：C．
【点评】本题主要考查了对数的运算法则，属于基础题．

5．（3 分）若函数 y=f（x），x∈[﹣5，12]的图象如图所示，则函数 f（x）的最
大值为（ ）
A．5 B．6 C．1 D．﹣1
【分析】直接运用函数最值的几何意义及图象可求．
【解答】解：由所给函数的图象及最值的几何意义可知，函数的最大值为 6，故选：B．
【点评】该题考查函数的最值及其几何意义，属基础题．

6．（3 分）不等式（x+2）（x﹣1）＞0 的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣2 或 x＞1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜﹣1 或 x＞2} D．{x|﹣1
＜x＜2}
【分析】求解一元二次不等式的步骤为：（1）研究一元二次不等式对应的方程根的情况；（2）画出对应的一元二次函数的图象；（3）结合图象得不等式的解集．
【解答】解：因为（x+2）（x﹣1）=0 的两根为﹣2 和 1，
所以 y=（x+2）（x﹣1）的图象为开口方向向上，与 x 轴的交点为（﹣2，0）和（1，
0）的二次函数，
因此满足（x+2）（x﹣1）＞0 的部分为 x 轴上方的，即所求不等式的解集为：{x|x＜﹣2 或 x＞1}，故选：A．
【点评】本题考察一元二次不等式的解法，掌握上述步骤，注意数形结合，一元
二次不等式的求解在集合的关系与运算和函数性质的研究中经常出现．

7．（3 分）圆 x2+y2+2x﹣4y+1=0 的半径为（ ）
A．1 B．√2 C．2 D．4
【分析】圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的半径 r=．
【解答】解：圆 x2+y2+2x﹣4y+1=0 的半径：
r=．
故选：C．
【点评】本题考查圆的半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．

8．（3 分）如图，在 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，若
（ ）

→→→→ A． B． C． D．
【分析】根据向量的加法及共线向量基本定理，相等向量即可表示出𝐸(→)𝐶．
→
【解答】解：由已知条件得：；
故选：B．
【点评】考查向量的加法，共线向量基本定理及相等向量．

9．（3 分）点 A（1，0）到直线 x+y﹣2=0 的距离为（ ）
√2
A． B． C．1 D．2
2
【分析】利用点到直线的距离公式求解．
【解答】解：点 A（1，0）到直线 x+y﹣2=0 的距离：
d=．
故选：B．
【点评】本题考查点到直线的距离的求法，解题时要认真审题，是基础题．

10．（3 分）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．y=2x B．y=﹣3x2+1 C．y=x3﹣x D．y=3x2+1
【分析】函数奇偶性的判定必须首先要求定义域，如果关于原点对称，再利用等于判定．
【解答】解：观察四个选项，函数的定义域都是 R，
其中对于 A，是非奇非偶的函数，对于 B，D 都满足 f（﹣x）=f（x），是偶函数，对于 C，f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数；故选：C．
【点评】本题考查了函数奇偶性的判定，在定义域关于原点对称的情况下，利用 f（﹣x）与 f（x）的关系判断奇偶性．

11．（3 分）sin72°cos63°+cos72°sin63°的值为（ ）

2 2
1 1 √2 √2
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】由两角和的正弦公式易得答案．
【解答】解：sin72°cos63°+cos72°sin63°
63°）
故选：D．
【点评】本题考查基础题．

12．（3 分）若 A 与 B 互为对立事件，且 P（A）=0.6，则 P（B）=（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【分析】对立事件的概率之和为 1．
【解答】解：∵A 与 B 互为对立事件，
∴P（A）+P（B）=1，又∵P（A）=0.6，
∴P（B）=0.4．故选：B．
【点评】本题考查了概率为基本性质，属于基础题．

13．（3 分）点 P（x，y）在如图所示的平面区域（含边界）中，则目标函数 z=2x+y
的最大值（ ）
A．0
B．6
C．12 D．18
【分析】利用目标函数的几何意义，即可求最大值．
【解答】解：由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z，平移直线 y=﹣2x+z，
由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点（6，0）时，直线 y=﹣2x+z 的截距最大，此时 z 最大．
代入目标函数 z=2x+y 得 z=2×6+0=12．即目标函数 z=2x+y 的最大值为 12．故选：C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

3
14．（3 分）直线经过点 A（3，4），斜率为﹣ ，则其方程为（ ）
4
A．3x+4y﹣25=0B．3x+4y+25=0 C．3x﹣4y+7=0 D．4x+3y﹣24=0
【分析】利用点斜式即可得出．
【解答】解：由点斜式可得：y﹣（x﹣3），
化为 3x+4y﹣25=0．故选：A．
【点评】本题考查了直线的点斜式方程，属于基础题．

15．（3 分）如图，在四面体 A﹣BCD 中，AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，若 AB=BC=CD=1，则 AD=（ ）

A．1 B．√2 C．√3 D．2
【分析】利用线面垂直的性质得到 AB⊥CD，结合 CD⊥BC 利用线面垂直的判定得到 CD⊥平面 ABC，所以 CD⊥AC，通过各过各的了可求 AD．【解答】解：∵AB⊥平面 BCD，CD⊂ 面 BCD，
∴AB⊥CD，又 CD⊥BC，
∴CD⊥面 ABC，
∴CD⊥AC，
又 AB=BC=CD=1，∴AD2=AC2+CD2=AB2+BC2+CD2=3，
∴AD=√3．故选：C．
【点评】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用；要证线面垂直，只要证明线线垂直．

16．（3 分）已知两个相关变量 x，y 的回归方程是，下列说法正确的是（ ）
A．当 x 的值增加 1 时，y 的值一定减少 2
B．当 x 的值增加 1 时，y 的值大约增加 2
C．当 x=3 时，y 的准确值为 4 D．当 x=3 时，y 的估计值为 4
【分析】根据所给的线性回归方程，把 x 的值代入线性回归方程，得到对应的 y 的值，这里所得的 y 的值是一个估计值．
【解答】解：当 x=3 时，，即当 x=3 时，y 的估计值为 4．
故选：D．
【点评】本题考查线性回归方程，考查用线性回归方程估计或者说预报 y 的值，

17．（3 分）某企业 2 月份的产量与 1 月份相比增长率为 p，3 月份的产量与 2 月份相比增长率为 q（p＞0，q＞0），若该企业这两个月产量的平均增长率为 x，则
下列关系中正确的是（ ）
𝑝+𝑞 𝑝+𝑞
A．x B．x C．x＞ D．x＜
2 2
【分析】由题意可得（1+p）（1+q）=（1+x）2，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得（1+p）（1+q）=（1+x）2，
，
，当且仅当 p=q 时取等号．
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

18．（3 分）已知函数 f（x）=sinx﹣lnx（0＜x＜2π）的零点为 x0 有 0＜a＜b＜c
＜2π 使 f（a）f（b）f（c）＞0 则下列结论不可能成立的是（ ）
A．x0＜a B．x0＞b C．x0＞c D．x0＜π
【分析】由题意判断 f（x）的正负，进而求出零点可能的范围．
【解答】解：由右图可知，
函数 f（x）=sinx﹣lnx（0＜x＜2π）先正后负，
则由有 0＜a＜b＜c＜2π 使 f（a）f（b）f（c）＞0 可知，
f（a）＞0，f（b）＜0，f（c）＜0 或 f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＞0，则 x0＜a 不可能；故选：A．

【点评】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题．

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分，把答案填在题中的横线上.）
19．（4 分）已知数列{an}满足 a1=2，an+1=3an﹣2，则 a3= 10 ．【分析】由数列的首项和递推式直接代值计算．
【解答】解：∵a1=2，an+1=3an﹣2，
∴a2=3a1﹣2=4，
∴a3=3a2﹣2=10，故答案为：10．
【点评】本题考查由数列递推式求数列的项，考查学生的计算能力．

20．（4 分）如图所示的程序框图，若输入的 a，b 的值分别是 3 和 5，则输出的结果是 5 ．

【分析】输入的 a，b 的值分别是 3 和 5，由程序框图选择结构的分析不难得出结论．
【解答】解：由程序框图知
∵a=3，b=5，5＞3，即此时 a＞b 不成立，
∴y=5，从而输出 y 的值为 5
故答案为：5．
【点评】本题主要考察程序框图中选择结构的应用，属于基础题．

21．（4 分）袋中装有质地、大小完全相同的 5 个球，其中红球 2 个，黑球 3 个，现从中任取一球，则取出黑球的概率为．
【分析】列出的所有的基本事件即可．
【解答】解：所有的基本事件有红 1，红 2，黑 1，黑 2，黑 3，共 5 种，取出黑球的基本事件有 3 种，
3
故概率为 ．
5
3
故答案为 ．
5
【点评】本题考查了用列举法概率的方法，属于基础题．

→ → → →
22．（4分）已知向量满足（，且| 为．

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→ 的夹角

【分析】由条件可得求得 𝑎(→) ⋅ 𝑏(→)=1，再由两个向量的夹角公式求出，再由 θ 的范围求出 θ 的值．
→→→ →
【解答】解：设的夹角为 θ，∵向量 满足（ ）•（ ，且
→
|，
∴𝑎(→2) +𝑎(→) ⋅ 𝑏(→)﹣2𝑏(→2) =1+𝑎(→) ⋅ 𝑏(→)﹣8=﹣6，∴𝑎(→) ⋅ 𝑏(→)=1．
，再由 θ 的范围为[0，π]，可得 ，
故答案为 ．
3
【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，求出，是解题的关键，属于中档题．

三、解答题（本大题共 3 小题，满分 30 分.解答题应写出文字说明及演算步骤.）
23．（10 分）△ABC 内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 cos（π﹣B）=﹣
．
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 a=4，c=2，求 b 和 A 的值．
【分析】（Ⅰ）利用诱导公式，即可求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 a=4，c=2，利用余弦定理求 b，由正弦定理可得 A 的值．
【解答】解：（I），又0＜𝐵＜𝜋，∴ …4 分
（II）由余弦定理得 b2=a2+c2﹣2accosB=16+4﹣8=12，

解得𝑏 = 2√3…7 分
由正弦定理可得，
故…10 分
【点评】本题考查诱导公式，考查余弦定理、正弦定理，考查学生的计算能力，
属于中档题．

24．（10 分）如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，E 为 DD1的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥BD1；
（Ⅱ）证明：BD1∥平面 ACE．

【分析】（I）证明 AC⊥BD，且 AC⊥DD1，即可证明 AC⊥平面 BDD1，从而证明
AC⊥BD1；
（ II）如图所示，证明 OE∥BD1，即可证明 BD1∥平面 ACE．
【解答】解：（I）证明：在正方体 ABCD 中，连结 BD，
∴AC⊥BD，又∵DD1⊥平面 ABCD，且 AC⊂ 平面 ABCD，
∴AC⊥DD1，又 BD∩DD1=D， ∴AC⊥平面 BDD1；又∵BD1⊂ 平面 BDD1， ∴AC⊥BD1；如图所示；
（ II）证明：设 BD∩AC=O，连结 OE，
在△BDD1中，O、E 分别为 BD、DD1的中点，
∴OE∥BD1；
又∵OE⊂ 平面 ACE，且 BD1⊄平面 ACE，
∴BD1∥平面 ACE．
【点评】本题考查了空间中的垂直与平行关系的证明问题，解题时应结合图形，弄清空间中的平行与垂直的条件与结论是什么，是中档题目．

25．（10 分）已知函数 f（x）=ax，g（x）=b•2x的图象都经过点 A（4，8），数列
{an}满足：a1=1，an=f（an﹣1）+g（n）（n≥2）．
（Ⅰ）求 a，b 的值；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）求证：．
【分析】（Ⅰ）由题意列出方程即可求得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得 an=f（an﹣1）+g（n）=2an﹣1+2n﹣1，即 an=2an﹣1+2n﹣1，两边同除以，即可得出结论；
（Ⅲ）当 n=1 时， ，当 n≥2 时，利用
不等式放缩可得．
2
【解答】解：（Ⅰ）∵函数 f（x）=ax，g（x）=b•2x的图象都经过点 A（4，8），
解得 a=2，b=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=2x，g（x）=2x﹣1， ∴an=f（an﹣1）+g（n）=2an﹣1+2n﹣1，即 an=2an﹣1+2n﹣1，两边同除以，又 ，
∴数列是首项和公差都为 1 的等差数列．
=n，an=n2n﹣1．
（Ⅲ）
①当 n=1 时，，
1 1 1 1
②当 n≥2 时，
𝑛
，
综上所述对一切正整数 n 都成立．
【点评】本题主要考查(𝑛)等差数列的定义及利用方程思想、不等式放缩思想解决问题的方法，考查学生的分析问题，解决问题的能力及运算求解能力，逻辑性强，属难题．
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