抛物线性质归纳、证明和应用教学内容.doc

一、焦半径、焦点弦性质如图，AB是过抛物线 y22px（p0）焦点F的弦，AD、BC是准线的垂线，垂足分别为D、C，M是CD的中点，N是AB的中点设点A(x1，y1)、点B(x2，y2)，直线AB交y轴于点K(0，y3)，则：K(0，y3)CMDB(x2，y2)ROF( ，0)A(x1，y1)xyHGxqNQ y1y2p2； x1x2； ； | AB |x1x2p （q为AB的倾斜角）； SOAB，S梯形ABCD. ； AMBDFCRt； AM、BM是抛物线的切线； AM、BM分别是DAB和CBA的平分线； AM、DF、y轴三线共点，BM、CF、y轴三线共点； A、O、C三点共线，B、O、D三点共线； 若| AF |：| BF |m：n，点A在第一象限，q为直线AB的倾斜角. 则cos q ； 以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切. MN交抛物线于点Q，则，Q是MN的中点. y1y2p2； x1x2； | AB |x1x2p （q为AB的倾斜角）；SOAB，S梯形ABCD.【证明】设过焦点F(，0)的AB的直线方程为xmy，代入抛物线方程y22px得 y22pmyp20，因此CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF( ，0)q图1 由韦达定理得y1y2p2，y1y22pm. 又点A、B在抛物线上，有x1，x2，因此x1x2. ，在直线AB方程xmy中令x0，得y3，代入上式得【证法一】根据抛物线的定义，| AF | AD |x1，| BF | BC |x2， | AB | AF | BF |x1x2p又| AB | y2y1 | 2p(1m2)当m0时，m，有1m21（k为直线AB的斜率）CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOqA1B1F图2当m0时，q90，1m21也满足1m2| AB |2p(1m2) .【证法二】如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么| RF | AD | FA1 | AF | AF |cosq，| AF |同理，| BF | AB | AF | BF | .SOABSOAFSOBF| OF | y1 | OF | y1 |(| y1 | y1 |)y1y2p2，则y1、y2异号，因此，| y1 | y1 | y1y2 |SOAB| y1y2 | .又| CD | AB |sinq ，| AD | BC | AB |.S梯形ABCD(| AD | BC |)| CD |. 【证法一】由x1x2，且| AF |x1，| BF |x2. 【证法二】由| AF |r1 ，| BF |r2 . CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图3 AMBDFCRt，先证明：AMBRt【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则ADMECM，| AM | EM |，| EC | AD | BE | BC | CE | BC | AD | | BF | AF | AB |ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，BMAE，即AMBRt【证法二】取AB的中点N，连结MN，则| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |，| MN | AN | BN |ABM为直角三角形，AB为斜边，故AMBRt.【证法三】由已知得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).kAM，同理kBMkAMkBM1BMAE，即AMBRt.【证法四】由已知得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).CDBRAxyOF图41234M(x1，)，(x3，)(x1)(x2)x1x2(x1x2)()0，故AMBRt.【证法五】由下面证得DFC90，连结FM，则FMDM.又ADAF，故ADMAFM，如图412，同理34图5CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF( ，0)aaabbb2318090AMBRt.接着证明：DFCRt【证法一】如图5，由于| AD | AF |，ADRF，故可设AFDADFDFRa，同理，设BFCBCFCFRb，而AFDDFRBFCCFR1802(ab)180，即ab90，故DFC90CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图6GHD1【证法二】取CD的中点M，即M(，)由前知kAM，kCFkAMkCF，AMCF，同理，BMDFDFCAMB90.【证法三】(p，y1)，(p，y2)，p2y1y20，故DFC90.【证法四】由于| RF |2p2y1y2| DR | RC |，即，且DRFFRC90 DRFFRCDFRRCF，而RCFRFC90DFRRFC90N1NMxyOF图7M1lDFC90【例4】（2009年湖北文）如图7，过抛物线y22px（P0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1，求证：FM1FN1CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图8D1 AM、BM是抛物线的切线【证法一】kAM，AM的直线方程为yy1(x)与抛物线方程y22px联立消去x得yy1()，整理得y22y1y0可见(2y1)240，故直线AM与抛物线y22px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y22px，两边对x求导，得2y2p，故抛物线y22px在点A(x1，y1)处的切线的斜率为k切| yy1.又kAM，k切kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.【证法三】过点A(x1，y1)的切线方程为y1yp(xx1)，把M(，)代入左边y1px1，右边p(x1)px1，左边右边，可见，过点A的切线经过点M，即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图9 AM、BM分别是DAB和CBA的平分线【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图9，则ADMECM，有ADBC，ABBE，DAMAEBBAM，即AM平分DAB，同理BM平分CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角a是直线AM的倾斜角b的2倍即可，即a2b. 且M(，)tanakAB.tanbkAM.tan 2btanaa2b，即AM平分DAB，同理BM平分CBA. AM、DF、y轴三线共点，BM、CF、y轴三线共点【证法一】如图10，设AM与DF相交于点G1，由以上证明知| AD | AF |，AM平分DAF，故AG1也是DF边上的中线，G1是DF的中点.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图10GHD1设AD与y轴交于点D1，DF与y轴相交于点G2，易知，| DD1 | OF |，DD1OF，故DD1G2FOG2| DG2 | FG2 |，则G2也是DF的中点.G1与G2重合（设为点G），则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点.【证法二】AM的直线方程为yy1(x)，令x0得AM与y轴交于点G1(0，)，又DF的直线方程为y(x)，令x0得DF与y轴交于点G2(0，)AM、DF与y轴的相交同一点G(0，)，则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点H由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF图11 A、O、C三点共线，B、O、D三点共线【证法一】如图11，kOA，kOCkOAkOC，则A、O、C三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法二】设AC与x轴交于点O，ADRFBC，又| AD | AF |，| BC | BF |，| RO | OF |，则O与O重合，即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法三】设AC与x轴交于点O，RFBC，| OF |【见证】O与O重合，则即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法四】(，y2)，(x1，y1)，y1x1 y2y1 y20，且都以O为端点A、O、C三点共线，同理B、O、D三点共线.【推广】过定点P(m，0)的直线与抛物线y22px（p0）相交于点A、B，过A、B两点分别作直线l：xm的垂线，垂足分别为M、N，则A、O、N三点共线，B、O、M三点也共线，如下图： 【例5】（2001年高考）设抛物线y22px（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴. 证明直线AC经过原点O.CB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF图12【证法一】因为抛物线y22px（p0）的焦点为F(，0)，所以经过点F的直线AB的方程可设为xmy；代入抛物线方程得y22pmyp20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，y1y2p2因为BCx轴，且点C在准线x上，故C(，y2)，CDB(x2，y2)EA(x1，y1)xyOF图13N直线CO的斜率为 kOCkOA.直线AC经过原点O.【证法二】如图13，过A作ADl，D为垂足，则：ADEFBC连结AC与EF相交于点N，则，由抛物线的定义可知：| AF | AD |，| BF | BC | EN | NF |.即N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O. 若| AF |：| BF |m：n，点A在第一象限，q为直线AB的倾斜角. 则cos q；【证明】如图14，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D，C，过B作BEAD于E，设| AF |mt，| AF |nt，则CDBRAxyOqEF图14l| AD | AF |，| BC | BF |，| AE | AD | BC |(mn)t在RtABE中，cosBAEcos qcosBAE.【例6】设经过抛物线y22px的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B，且| AF |：| BF |3：1，则直线AB的倾斜角的大小为 .【答案】60或120. 以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切.【说明】如图15，设E是AF的中点，CDBRAxyOF图15lMNE则E的坐标为(，)，则点E到y轴的距离为d| AF |故以AF为直径的圆与y轴相切，同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15，设M是AB的中点，作MN准线l于N，则| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |图16则圆心M到l的距离| MN | AB |，故以AB为直径的圆与准线相切. MN交抛物线于点Q，则Q是MN的中点.【证明】设A(，y1)，B(，y1)，则C(，y2)，D(，y1)，M(，)，N(，)，设MN的中点为Q，则Q (，) 点Q 在抛物线y22px上，即Q是MN的中点.二、定点、定值、定直线问题（共9个结论）平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点，如图17.图17FABxOTl【证明】如图17，设抛物线方程为y22px（p0），直线ABx轴，点A的坐标为(x0，y0)，则过A点的切线方程为y0yp(xx0)，直线l的斜率为k0，设直线AB到l的角为a，则tana，设直线AF的斜率为k1，则k1 ，设直线l到AF的角为b，则tanb.tanatanb，又a、b0，p)，则ab，也就是说平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点.图18FPMxOQNyM【例7】（2004年福建省质检）如图18，从点M(x0，2)发出的光线沿平行于抛物线y24x的轴的方向射向抛物线的点P，反射后经焦点F又射向直线l：x2y70上的点N，再反射后又设回点M，则x0 .【解】PMx 轴，点P在抛物线上，得P的坐标为(1，2)，经过F(1，0)点后反射在Q点，则Q的坐标为(1，2)，经Q反射后点N的坐标为(3，2)，设M关于l对称的点为M，依题意，Q、N、M 共线.故可设M (x1，2)，xyOA(，s)图19B(，t)C(x0，y0)由此得 ，解得x06.【另解】若设Q关于直线l的对称点为Q，设Q (a，b)，由于Q、Q关于直线l对称，由此得，解得则Q的坐标为(，)， 又M、N、Q 三点共线，kMNkNQ，即，x06.若C(x0，y0)是抛物线y22px（p0）上的任一点，过C引两条互相垂直的直线交抛物线于A、B，则直线AB过定点(2px0，y0).【证明】设A(，s)、B(，t)（s，t，y0互不相等）那么，由ACBC得kACkBC 14p2(y0s)(y0t)st4p2(st)y0 又直线AB的方程为，整理得，y 把代入得 yy0(x2px0)y0令x2px00，即x2px0，得yy0.故直线AB过定点(2px0，y0). 特别地，当C是抛物线的顶点时，定点P的坐标为(2p，0).【拓展】C(x0，y0)是抛物线y22px（p0）上的一定点，直线AB与抛物线相交于A、B两点（都异于C），若直线CA、CB的斜率kCA、kCB的乘积为定值m，那么，直线AB过定点(x0，y0).xyOA(xA，yA)图20B(xB，yB)MP【例8】（2000京皖春季高考）如图20，设点A和B为抛物线y24px（p0）上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线【解法一】点A，B在抛物线y24px上，设A(，yA)，B(，yB)，OA、OB的斜率分别为kOA、kOBkOA，kOA，kAB.由OAOB，得kOAkOB1 直线AB方程为，yyA(x)，即(yAyB)(yyA)4p(x) 由OMAB，得直线OM方程y 设点M(x，y)，则x，y满足、两式，将式两边同时乘以，并利用式整理得，yA2yyA(x2y2)0 图21xyOA(xA，yA)B(xB，yB)MP由、两式得yByA(x2y2)0，由式知，yAyB16p2，所以x2y24px0因为A、B是原点以外的两点，所以x0所以点M的轨迹是以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点【解法二】由性质(2)易知AB经过定点P(4p，0)，由于OMAB，那么，M的轨迹以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点其轨迹方程为x2y24px0（x0）.抛物线y22px（p0）的弦AB的中点D恰好在定直线l：xm（m0）上，则线段AB的垂直平分线过定点M(mp，0).图22【证明】如图22，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(m，y0)，那么得2p(x1x2)直线AB的斜率kAB直线DM的斜率kDMDM的直线方程为yy0(xm)令y0，得xmp直线AB的垂直平分线恒过定点(mp，0).【例9】（2008湖南理科高考）若A、B是抛物线y24x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x2时，点P(x，0)存在无穷多条“相关弦”给定x02证明：点P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；（略）【说明】应用性质，由已知得p2，由定点P(x0，0)得mpx0，故mx02“相关弦”的中点的横坐标为x02.设直线l与抛物线y22px（p0）相交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么若直线l过抛物线对称轴的定点M(a，0)，则y1y22ap，x1x2a2；反之若y1y2k（定值），则直线l恒过定点N (，0).若直线l与y轴相交于点(0，y3)，则.【证明】设过点M(a，0)的直线方程为xmya，代入抛物线方程y22px得xyOA(x1，y1)图23B(x2，y2) y22pmy2pa0，因此y1y22ap，x1x2a2.设直线l方程为xmyb，代入抛物线方程y22px得 y22pmy2pb0，即方程的根y1、y2是P、Q两点的纵坐标y1y22pb，又y1y2k.2pbk，即b，则直线l方程为xmy令y0，得x，则直线l恒过定点N(，0).由l的方程xmya中，令x0得y3，y1y22pm .N(x2，y2)M(x1，y1)xyOa图24b【例10】（北京2005年春季高考理科）如图24，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别为a和b（a0，b0），且交抛物线y22px（p0）于M(x1，y1)、N(x2，y2)两点.写出直线l的截距式方程；证明：.【解】直线l的截距式方程为1.由上面性质证明可得.过抛物线y22px（p0）的焦点F作直线l与抛物线交于A、B两点，且与准线交于点M，设l，m，则lm0.B(x2，y2)A(x1，y1)xyOF图25M【证法一】设过点F(，0)的直线方程为xmy，代入抛物线方程y22px得 y22pmyp20，因此y1y2p2，y1y22pm令x，得yM由l得(x1，y1)l (x1，y1)y1l y1，l1，同理，m1lm222220.B(x2，y2)A(x1，y1)xyOF图26MA1B1【证法二】由已知l，m，得lm0则 过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，则有： 由得，即lm0.Oyx11lF图27【例11】（2007年福建理科高考）如图27，已知点F(1，0)，直线l：x1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且求动点P的轨迹C的方程；过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知l1，l2，求l1l2的值；【略解】动点P的轨迹C的方程为：y24x；l1l20.定长为l的弦AB的两个端点在抛物线y22px上，M是AB 的中点，M到y轴的距离为d，那么，M的轨迹方程为：4(y2p2)(2pxy2)p2l2，且B(x2，y2)A(x1，y1)xyOF图28M(x0，y0)当0l2p时，d的最小值为，此时，ABy轴；当l2p时，d的最小值为，此时，弦AB过焦点F.【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点M的坐标为(x0，y0)，AB的直线方程为xmyb，代入抛物线方程y22px得y22pmy2pb0. y1y22pm，y1y22pb.又AB的中点为M(x0，y0)，且点M在直线AB上，y0pm，x0my0b，m，bx0my0x0.| AB |2l2(x1x2)2(y1y2)2(my1bmy2b)2(y1y2)2(1m2)(y1y2)2(1m2)(y1y2)24y1y2(1)48pb(1)48p(x0)整理得，4(p2)(2px0)p2l2. 故中点M的轨迹方程为：4(y2p2)(2pxy2)p2l2.由上可知dx，令ty2p2p2，即y2tp2，则dx（tp2）.令，得t.当0l2p时，p2，d在t p2，)上是增函数，当tp2，即y0时，dmin，此时，m0，即ABy轴.当l2p时，p2，d2. 当且仅当，即tp2时取等号，故d的最小值为.BAxyOF图29MAMB【证法二】当l2p时，过A、B、M作准线x的垂线，垂足为A、B、M，则| MM |d(| AA | BB |)(| AF | BF |)| AB |l.上式当且仅当| AF | BF | AB |，即弦AB过抛物线的焦点M时取等号，则d的最小值为l.【说明】经过焦点F的最短弦是通经2p，因此当弦AB的长l2p时，不能用证法二证明d的最小值为.BAxyO图30CF【例12】长度为a的线段AB的两个端点在抛物线x22py（a2p0）上运动，以AB的中点C为圆心作圆与抛物线的准线相切，求圆C的最小半径.【解】依题意，问题转化为定长的弦的两个端点在抛物线上，弦的中点C到y轴的距离的最值问题，由上面的性质可知当弦AB经过焦点F时，点C到准线的距离为最小值. 如图30. 圆C的最小半径为r.过抛物线y22px（p0）的对称轴上的定点M(m，0)（m0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点点N是定直线l：xm上的任一点，则直线AN，MN，BN的斜率成等差数列.ABNM(m，0)(m，n)xmOxy图31【证明】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(m，n)，由性质有y1y22pm，则直线AN、BN的斜率为kAN，kBNkANkBN 又直线MN的斜率为kMN.kANkBN2kMN直线AN，MN，BN的斜率成等差数列.抛物线的一组平行弦的中点共线，且所在直线平行于对称轴或与对称轴重合. AiBiMixyO图33【证明】设斜率为k（k为常数）的一组平行线与抛物线y22px（p0）交于点Ai、Bi（i1，2，），弦AiBi的中点为Mi，（即M1，M2，Mn），且AiBi的直线方程为ykxbi（bi为直线AiBi在y轴上的截距），Ai(x1，y1)，Bi(x2，y2)，Mi(xi，yi).联立方程组，消去x得y2ybi0y1y2，又Mi是AiBi的中点yi，则M1，M2，Mn在平行于x轴的直线y上.当直线AiBi与x轴垂直（即直线AiBi的斜率不存在时），易知M1，M2，Mn在x轴上.xAy112MNBO图34【例13】（2009年陕西卷理20文21）已知抛物线C：y2x2，直线ykx2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；【证明】如图34，设A(x1，2)，B(x1，2)，把ykx2代入y2x2得2x2kx20，由韦达定理得x1x2，x1x21，xNxM，即N点的坐标为(，)设抛物线在点N处的切线l的方程为ym(x)，将y2x2代入上式得2x2mx0，直线l与抛物线C相切，Dm28()0，解得mk，即lAB.【说明】其实，也就是与AB平行的弦，它们的中点在过AB中点且与对称轴（x轴）平行的直线上，它与C的交点N，此时的切点就是这些弦的缩点，故过N点的抛物线C的切线与AB平行.过定点P(x0，y0)作任一直线l与抛物线y22px（p0）相交于A、B两点，过A、B两点作抛物线的切线l1、l2，设l1，l2相交于点Q，则点Q在定直线pxy0ypx00上.PABQOxy图35【证明】设A(x1，y1)、B(x2，y2)，因为过点P与x轴平行的直线与抛物线只有一个交点，所以直线AB与x轴不平行，故可设AB的方程为xx0m(yy0).联立方程组，消去x得 y2mymy0x00y1y22p(my0x0)又过A、B两点的抛物线的切线方程为 y1yp(xx1)和y2yp(xx2)，联立方程组解得xQmy0x0 yQppm 由得m 代入得xQ y0x0，点Q在直线pxy0ypx00上.AnA2A1BnB1B2FOCnxy图36【例14】（2007年重庆文科高考题）如图36，对每个正整数 n，An(xn，yn)是抛物线x24y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn，tn).试证：xnsn4（n1）；取xn2n，并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.试证：| FC1 | FC2 | FCn |2n2n11.【说明】本题第小题就是抛物线的焦点弦的性质y1y2=p2.第小题两条切线的交点Cn就是上面抛物线的性质，即点Cn必在直线y1上.yxBAOM2p图37【例15】（2008年山东理科高考）如图，设抛物线方程为x22py（p0），M为 直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；略.【证明】由题意设A(x1，)，B(x2，)，x1x2，M(x0，2p)由x22py得y，y所以，kMA，kMB，因此直线MA的方程为y2p(xx0)，直线MB的方程为y2p(xx0)，所以，2p(x1x0)，2p(x2x0)，得，x1x2x0，即2x0x1x2所以A，M，B三点的横坐标成等差数列.过抛物线y22px（p0）的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则2.【证明】设过焦点F(，0)的直线AB的方程为xmy（m0），且A(x1，y1)、B(x2，y2)，把xmy代入y22px，得y22pmyp2，即y22pmyp20y1y22pm，y1y2p2x1x2m(y1y2)p2pm2p，AB的中点N的坐标为(pm2，pm)AB的垂直平分线方程为ypmm(xpm2)令y0，得M的横坐标为xpm2| FM | xM |pm2pp(m21)，又| AB |x1x2p2p(m21).2【证法二】设A(x1，y1)、B(x2，y2)，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，则C(，y1)、D(，y2)，则CD的中点E的坐标为(，)，由证法一知y1y22pm，E(，pm)，所以kEFm又kAB，所以kABkEF(m)1EFAB，又MNAB，所以EFMN又ENx轴，所以四边形EFMN为平行四边形| FM | EN |(| AC | BD |)| AB |所以2P是过抛物线y22px（p0）上的一定点，过P作与x轴平行的直线m，过OP的直线为n，直线lx轴，l与m、n分别相交于A、B两点，则AB的中点M在点P处的切线.【证明】设P(，t)，则m的方程为yt，直线n（即OP）的方程为yx，设直线l的方程为xs（s），那么A的坐标为(s，t)，B的坐标为(s，)，AB的中点M的坐标为(t，)，即(t，)又过点P(，t)的抛物线的切线方程为ytp(x)y(x)当xxMs时，y(s)yM可见点M在点P处的切线n上.点P(a，0)（a0）是抛物线y22px（p0）的对称轴上的一点，过P的直线l与抛物线相交于两点A、B，A关于x轴的对称的点为A，又点Q(a，0)，那么A、B、Q三点共线.【证明】设直线l的方程为xmya，A(x1，y1)，B(x2，y2)则A(x1，y1)，联立方程组，消去x得mya0，那么y1 y22pa，又(x1a，y1)，(x2a，y2)，(x1a)y2(x2a)y1(a)y2(a)y1a(y1y2)a(y1y2)(y1y2)(a)(y1y2)(a)0Q、A、B三点共线.【例16】给出一个抛物线，根据其性质，用尺规作图求出该抛物线的对称轴、顶点和焦点. 图a 图b【作法】1.任意作两条平行弦A1B1和A2B2；2.分别取A1B1和A2B2的中点M、N，过M、N作直线m；3.作直线CDm，交抛物线于C、D；4.取CD的中点E；5.过E作直线lm，交抛物线于点O.则直线l为抛物线的对称轴，O为抛物线的顶点，如图a.6.过顶点O作两条互相垂直的弦OP、OQ；7.设PQ与对称轴l相交于点G；8.取OG的靠近O的四等分点F.则F为抛物线的焦点.【说明】1.根据性质，平行弦的中点共线，且与对称轴平行；2.垂直于对称轴的弦CD的中点在对称轴上，故l为抛物线的对称轴；3.根据性质得PQ过顶点(2p，0)，故F为抛物线的焦点.第23页