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高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳.doc

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资源描述
2012届高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳(18) 一、直接根据题意建立不等关系求解. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例1:若双曲线(a>0,b>0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) 解析 由题意可知即解得故选B. 练习1椭圆的焦点为,,两条准线与轴的交点分别为,若,则该椭圆离心率的取值范围是(  ) A. B. C. D. 解析 由题意得∴故选D. 二、借助平面几何关系建立不等关系求解 例2:设分别是椭圆()的左、右焦点,若在其右准线上存在使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 分析 通过题设条件可得,求离心率的取值范围需建立不等关系,如何建立? 解析:∵线段的中垂线过点, ∴,又点P在右准线上,∴ 即∴∴,故选D. 点评 建立不等关系是解决问题的难点,而借助平面几何知识相对来说比较简便. 三、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解. 例3:双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B. C.(3,+) D. 分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系,题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢? 解析:∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|-|PF2|=|PF2|=,|PF2|即∴ 所以双曲线离心率的取值范围为,故选B. 点评:本题建立不等关系是难点,如果记住一些双曲线重要结论(双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于)则可建立不等关系使问题迎刃而解. 练习1已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为:( ) A B C D ∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1|-|PF2|=3|PF2|=,|PF2|即∴ 所以双曲线离心率的取值范围为,故选B. 练习2已知,分别为 的左、右焦点,P为双曲线右支上任一点,若的最小值为,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A B C D 解析 ,欲使最小值为,需右支上存在一点P,使,而即所以. 例5:已知椭圆右顶为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且OP垂直于PA,求椭圆的离心率e的取值范围。 解:设P点坐标为(),则有 消去得若利用求根公式求运算复杂,应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知由得 例6:椭圆:的两焦点为,椭圆上存在点使. 求椭圆离心率的取值范围; 解析 设……① 将代入①得 求得 . 点评:中,是椭圆中建立不等关系的重要依据,在求解参数范围问题中经常使用,应给予重视. 四、运用数形结合建立不等关系求解 例7:已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 (A)    (B)    (C)    (D) 解析 欲使过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,∴ ≥,即即∴即故选C. 五、运用函数思想求解离心率 例8:设,则双曲线的离心率e的取值范围是 A. B. C. D. 解析:由题意可知∵∴ ∴,故选B. 六、运用判别式建立不等关系求解离心率 例9:在椭圆上有一点M,是椭圆的两个焦点,若,求椭圆的离心率. 解析: 由椭圆的定义,可得 又,所以是方程的两根,由, 可得,即所以,所以椭圆离心率的取值范围是 例10:设双曲线C:相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围: 解析 由C与相交于两个不同的点,故知方程组 有两个不同的实数解.消去y并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ① 所以解得 双曲线的离心率 ∴ 所以双曲线的离心率取值范围是 总结:在求解圆锥曲线离心率取值范围时,一定要认真分析题设条件,合理建立不等关系,把握好圆锥曲线的相关性质,记住一些常见结论、不等关系,在做题时不断总结,择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等. 巩固练习例1. 设,则二次曲线的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. () 解:由,知, 故所给的二次曲线是双曲线,由双曲线的离心率e>1,排除A、B、C,故选D。 2. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合,则该双曲线的离心率为() A. B. C. D. 解:抛物线的准线是, 即双曲线的右准线, 则,解得, 故选D。 3. 点P(-3,1)在椭圆的左准线上,过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为() A. B. C. D. 解:由题意知,入射光线为, 关于的反射光线(对称关系)为 则解得 则。故选A。 三、构造a、c的齐次式,解出e 根据题设条件,借助a、b、c之间的关系,沟通a、c的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e的一元方程,从而解得离心率e。 4. 已知F1、F2是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是() A. B. C. D. 解:如图,设MF1的中点为P,则P的横坐标为。 由焦半径公式, 即,得, 解得,故选D。 5. 过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点A,则双曲线的离心率等于_______。 (答案:2) 6. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。 (答案:)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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