高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳.doc

2012届高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳（18）
一、直接根据题意建立不等关系求解. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例1：若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)
解析 由题意可知即解得故选B.
练习1椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析 由题意得∴故选D.
二、借助平面几何关系建立不等关系求解
例2：设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D.
分析 通过题设条件可得，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？
解析：∵线段的中垂线过点， ∴，又点P在右准线上，∴
即∴∴，故选D.
点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.
三、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.
例3：双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为
A.(1,3) B. C.(3,+) D.
分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？
解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|-|PF2|=|PF2|=，|PF2|即∴
所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.
点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于）则可建立不等关系使问题迎刃而解.
练习1已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：( )
A B C D
∵|PF1|=4PF2∴|PF1|-|PF2|=3|PF2|=，|PF2|即∴
所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.
练习2已知，分别为　的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A B C D
解析 ，欲使最小值为，需右支上存在一点P，使，而即所以.
例5：已知椭圆右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
解：设P点坐标为（）,则有
消去得若利用求根公式求运算复杂，应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知由得
例6：椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使. 求椭圆离心率的取值范围；
解析 设……①
将代入①得 求得 .
点评：中，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.
四、运用数形结合建立不等关系求解
例7：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
解析 欲使过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，即即∴即故选C.
五、运用函数思想求解离心率
例8：设，则双曲线的离心率e的取值范围是
A． B. C. D.
解析：由题意可知∵∴
∴，故选B.
六、运用判别式建立不等关系求解离心率
例9：在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，求椭圆的离心率.
解析: 由椭圆的定义，可得 又，所以是方程的两根，由， 可得，即所以，所以椭圆离心率的取值范围是
例10：设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围：
解析 由C与相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
所以解得
双曲线的离心率
∴
所以双曲线的离心率取值范围是
总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.
巩固练习例1. 设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D. （）
解：由，知，
故所给的二次曲线是双曲线，由双曲线的离心率e>1，排除A、B、C，故选D。
2. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
解：抛物线的准线是，
即双曲线的右准线，
则，解得，
故选D。
3. 点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
解：由题意知，入射光线为，
关于的反射光线（对称关系）为
则解得
则。故选A。
三、构造a、c的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
4. 已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。

由焦半径公式，
即，得，
解得，故选D。
5. 过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点A，则双曲线的离心率等于_______。
（答案：2）
6. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
（答案：）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m