五月高考模拟优秀试题汇编教学提纲.doc

2007年五月高考模拟优秀试题汇编

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2007年五月高考模拟优秀试题汇编
1．（浙江省五校） 设函数，，其中，记函数的最大值与最小值的差为。
（I）求函数的解析式；
（II）画出函数的图象并指出的最小值。
2．（浙江省五校） 已知函数,数列满足,
; 数列满足, .求证:
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）若则当n≥2时,.
3．（江苏卷预测题） 已知定义在R上的函数f(x) 同时满足：
（1）（R，a为常数）；
（2）；
（3）当时，≤2．
求：（Ⅰ）函数的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．
4．（哈九中） 设上的两点，
满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

5．（湖北省十一校）.已知数列中各项为：
个
个
12、1122、111222、……、 ……

（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.
（2）求这个数列前n项之和Sn .
6. （湖北省十一校）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足① , ②= = ③∥
（1）求顶点C的轨迹E的方程
（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（, 0） ，已知∥ , ∥且·= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.
7．（莆田四中）已知为锐角，且，
函数，数列{an}的首项.
⑴ 求函数的表达式；
⑵ 求证：；
⑶ 求证：
8．（江苏省淮安市）（本小题满分14分）已知数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；
（Ⅲ）证明：
9．（江苏省淮安市）已知函数
（I）当时，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；
（II）当时，
（1）求证：对任意的，的充要条件是；
（2）若关于的实系数方程有两个实根，求证：且的充要条件是
10．（江苏省南通市四星级高中）已知数列{a n}前n项的和为S n，前n项的积为，且满足。
①求 ②求证：数列{a n}是等比数列；
③是否存在常数a，使得对都成立？
若存在，求出a，若不存在，说明理由。
11．（江苏省南通市四星级高中）飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km,C在B的北偏东300，相距4km,P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s.
（1）求A、C两个救援中心的距离；
（2）求在A处发现P的方向角；
C
B
A
（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论.

12．（江苏省南通市四星级高中）已知函数，， 的最小值恰好是方程的三个根，其中．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设，是函数的两个极值点．
①若，求函数的解析式；
②求的取值范围．
13．（山东省枣庄市）如图，已知直线l与抛物线相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.
（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；

（II）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

14．（山东省枣庄市）设（e为自然对数的底数）
（I）求p与q的关系；
（II）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（III）证明：
①；
②（n∈N，n≥2）.
15．（江苏省盐城市）已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn，求证：．
16．（江苏省盐城市）设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若函数的递增区间为，求的取值范围；
（Ⅲ）若当时（k是与无关的常数），恒有，试求k的最小值．
17．（惠州市）如图，转盘游戏．转盘被分成8个均匀的扇形区域．游戏规 则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头A所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的）．假设箭头指到区域分界线的概率为，同时规定所得点数为0．某同学进行了一次游戏，记所得点数为．求的分布列及数学期望．（数学期望结果保留两位有效数字）
18．（惠州市）设，分别是椭圆：的左，右焦点．
（1）当，且，时，求椭圆C的左，右焦点、．
Q（x，y）
M
F1
F2
O
y
x
（2）、是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知的半径是1，过动点的作切线，使得（是切点），如下图．求动点的轨迹方程．
19．（惠州市）已知数列满足
, ，．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，且对于恒成立，求的取值范
20．（惠州市）已知集合（其中为正常数）．
（1）设，求的取值范围；
（2）求证：当时不等式对任意恒成立；
（3）求使不等式对任意恒成立的的范围．
21．（上海市宝山区）已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。
（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a的值；
（3）当a>0时，求数列的最小项。
22．（上海市宝山区）已知抛物线C：上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1。
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；
（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．
现有正确命题：过点的直线交抛物线C：于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F。
试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。
23．（徐州市）已知函数f(x)=，设正项数列满足=l，．
(I)写出，的值;
(Ⅱ)试比较与的大小，并说明理由；
(Ⅲ)设数列满足=－，记Sn=．证明：当n≥2时,Sn＜(2n－1)．
24．（徐州市）已知函数f(x)=x3－3ax(a∈R)．
(I)当a=l时，求f(x)的极小值；
(Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值
范围；
(Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式．
25．（江苏卷）在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中
，满足向量与向量共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的
线上
（1）试用a与n表示；
（2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。
26．（江苏卷）已知，记点P的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.
（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值.
（ii）过P、Q作直线的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范围.
27．（江苏卷）设x1、 的两个极值点.
（1）若，求函数f(x)的解析式；
（2）若的最大值；
（3）若，求证：
28．（重庆市高三联合诊断）已知，若数列{an}
成等差数列.
（1）求{an}的通项an;
（2）设 若{bn}的前n项和是Sn，且
29．（江苏省扬州中学）点P在以为焦点的双曲线上，已知，，O为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于两点，且，，求双曲线E的方程；
（Ⅲ）若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（江苏省扬州中学）已知函数，，和直线，又．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出的值；如果不存在,说明理由．
（Ⅲ）如果对于所有的,都有成立，求的取值范围．
31．（上海市十一所实验示范校）已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当（1，3）时，有成立。
（1）证明：。
（2）若的表达式。
（3）设 ，若图上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围。
32．（上海市十一所实验示范校）（1）数列{an}和{bn}满足 （n=1，2，3…），求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列。（8分）
（2）数列{an}和{cn}满足，探究为等差数列的充分必要条件，需说明理由。[提示：设数列{bn}为
33．（潍坊市）某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行. 根据以往经验，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不受影响. 若甲第n局赢、平、输的得分分别记为、、令 .
(Ⅰ)求的概率；
（Ⅱ）若随机变量满足（表示局数），求的分布列和数学期望.
34．（潍坊市）如图，已知直线与抛物线相切于点P(2, 1)，且与轴交于点A，定点B的坐标为(2, 0) .
（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；
（II）若过点B的直线（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求OBE与OBF面积之比的取值范围.

35．（重庆一中）已知AB是椭圆的一条弦,M(2,1)是AB的中点,以M为焦点,以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于N.
(1)设双曲线离心率为,试将表示为椭圆的半长轴长的函数;
(2)当椭圆的率心率是双曲线离心率的倒数时,求椭圆的方程;
(3)求出椭圆长轴长的取值范围.
36．（南通中学）设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：
① ②M是与n无关的常数.
（1）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，证明：{Sn}∈W
（2）设数列{bn}的通项为，求M的取值范围；
（3）设数列{cn}的各项均为正整数，且
37．（湖南省长沙雅礼中学）数列和数列（）由下列条件确定：
（1），；
（2）当时，与满足如下条件：当时，，；当时，，.
解答下列问题：
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）记数列的前项和为，若已知当时，，求.
（Ⅲ）是满足的最大整数时，用，表示满足的条件.
38(湖南省“三市七校”) 已知函数 (a为实常数)．
　　(1) 当a = 0时，求的最小值；
　　(2)若在上是单调函数，求a的取值范围；
(3)设各项为正的无穷数列满足 证明：≤1(n∈N*)．
39(2007年5月扬州大学附属中学)设函数的图象与直线相切于．
（Ⅰ）求在区间上的最大值与最小值；
（Ⅱ）是否存在两个不等正数，当时，函数的值域也是，若存在，求出所有这样的正数；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设存在两个不等正数，当时，函数的值域是，求正数的取值范围．
40(宁波市三中) 已知数列中，，．
（1）求；
（2）求数列的通项；
（3）设数列满足，求证：
41(2007年北京市海淀区数学二模) 8．函数（）是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数.对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：
.
利用这一方法，的近似代替值（ A ）
（A）大于 （B）小于 （C）等于 （D）与的大小关系无法确定
14．数列{ a}，{ b}（）由下列条件所确定：
（ⅰ）a1<0, b1>0 ;
（ⅱ）≥2时，ak与bk满足如下条件：
当时，ak= ak-1, bk=；
当时，ak= , bk=b k-1.
那么，当a1＝－５，b1＝５时， { a}的通项公式为
当b1> b2>…>bn(n≥2)时，用a1，b1表示{ bk }的通项公式为bk=　　　　　　　（k=2，3…，n）．
O
A
P
B
x
y
（１）；（２）

如图， 和两点分别在射线OS、OT上移动，且，O为坐标原点，动点P满足.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样
的曲线？
（Ⅲ）若直线l过点E（2，0）交（Ⅱ）中曲线C于M、N两
点，且，求l的方程.

42(厦门市) 已知函数。
(1)若函数f（x）、g（x）在区间[1，2]上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；
(2)a、b是函数H（x）的两个极值点，a<b，。求证：对任意的x1、x2，不等式成立
43(深圳市) 设是定义在上的奇函数，且当时， ．
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ) 当时，求函数在上的最大值；
(Ⅲ)如果对满足的一切实数，函数在上恒有，求实数的取值范围．
44(深圳市) 已知椭圆的中心为原点，点是它的一个焦点，直线过点与椭圆交于两点，且当直线垂直于轴时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线，使得在椭圆的右准线上可以找到一点，满足为正三角形．如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
45(深圳市) 已知数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和；
（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．
46(广州市2007届高三四校) 已知函数的图像过点，且对任意实数都成立，函数与的图像关于原点对称。
（Ⅰ）求与的解析式；
（Ⅱ）若—在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围；
47(广州市2007届高三四校) 设数列满足 ，且数列是等差数列，数列是等比数列。
（I）求数列和的通项公式；
（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。
48(东北四市长春、哈尔滨、沈阳、大连) 数列的首项，前n项和Sn与an之间满足
（1）求证：数列{}的通项公式；
（2）设存在正数k，使对一切都成立，求k的最大值.
49(东北四市长春、哈尔滨、沈阳、大连)已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中
（1）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；
（2）设A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围.
50(东北四市长春、哈尔滨、沈阳、大连)已知函数
（1）求函数f(x)是单调区间；
（2）如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合；
（3）是否存在正数k，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由.
51(南通市2007届高三年级第二次调研考试) 已知定义在R上的函数，对于任意的实数a，b都有，且
（1） 求的值
（2） 求的解析式（）
52(南通市2007届高三年级第二次调研考试) 设函数
（1）求证：为奇函数的充要条件是
（2）设常数＜，且对任意x，＜0恒成立，求实数的取值范围
53(2007年苏、锡、常、镇) 已知函数（a为常数）.
（1）如果对任意恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数满足：中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程 的两实根，判断①，②，③是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数，并求的最小值；
（3）对于（2）中的，设，数列满足 ，且，试判断与的大小，并证明.
54(湖北省黄冈中学2007年高三年级4月) 9．已知直线某学生作了如下变形：由
消去y后得到形如的方程，当A=0时，该方程有一解；当A≠0时，恒成立.假设学生的演算过程是正确的，则实数m的取值范围为 （ B ）

A． B． C． D．
10．对于函数
，令集合，则集合M为 （ A）
A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集
15．已知函数时，
只有一个实根；当k∈（0，4）时，只有3个相异实根，现给出下列4个命题： ①有一个相同的实根；
②；有一个相同的实根；③的任一实根； ④的任一实根.
其中正确命题的序号是 23 。

如图，以A1，A2为焦点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C，D，C1，D1，连接CC1与OB交于点H，且有：。其中A1，A2，B是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距。
（1）当c=1时，求双曲线E的方程；
（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数。
（3）连接A1C与双曲线E交于F，是否存在实数恒成立，若存在，试求出的值；1,3,5
若不存在，请说明理由.
55(湖北省黄冈中学2007年高三年级4月)
设函数处的切线的斜率分别为0，－a. （1）求证： ；
（2）若函数f（x）的递增区间为[s，t]，求|s－t|的取值范围.
（3）若当x≥k时，（k是a，b，c无关的常数），恒有，试求k的最小值
56(湖北省黄冈中学2007年高三年级4月) 设函数
（1）若且对任意实数均有成立，求表达式；
（2）在（1）在条件下，当是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn<0，m+n>0，a>0且为偶函数，证明
57(东北师大附中2007年4月) 在平面直角坐标系内有两个定点和动点P，坐标分别为 、，动点满足，动点的轨迹为曲线，曲线关于直线的对称曲线为曲线，直线与曲线交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面积为， （1）求曲线C的方程；（2）求的值。
58(安徽省巢湖市) 16.关于函数，（是常数且＞0）。对于下列命题：①函数的最小值是 -1；②函数在每一点处都连续；③函数在R上存在反函数；④函数在处可导；⑤对任意且，恒有。
其中正确命题的序号是 125 .

数列，
⑴是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。
⑵设，证明：当时，.

参考答案
1．解：（I）
（1）当时，函数是增函数，
此时，，
，所以；——2分
（2）当时，函数是减函数，此时，，
，所以；————4分
（3）当时，若，则，有；
若，则，有；
因此，，————6分
而，
故当时，，有；
当时，，有；————8分
综上所述：。————10分
（II）画出的图象，如右图。————12分
数形结合，可得。————14分
2．解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明,.
（1）当n=1时,由已知得结论成立;
（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,
因为0<x<1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数.
又f(x)在上连续,所以f(0)<f()<f(1),即0<.
故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.————4分
又由, 得,从而.
综上可知————6分
(Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0<x<1,
由,知g(x)在(0,1)上增函数.
又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.
因为,所以,即>0,从而————10分
(Ⅲ) 因为 ,所以, ,
所以 ————① , ————12分
由(Ⅱ)知:, 所以= ,
因为, n≥2,
所以 <<=————② . ————14分
由①② 两式可知: .————16分
3．（Ⅰ）在中,
分别令；；得

由①＋②－③，
得
＝∴
（Ⅱ）当时，Î．
（1）∵≤2，当a<1时，≤≤≤2．
即≤≤． ≤≤．
（2）∵≤2，当a≥1时，- 2≤≤≤1．即1≤a≤．
故满足条件的取值范围[-，]．

4．（1）
椭圆的方程为 （2分）
（2）设AB的方程为
由
（4分）
由已知
2 （7分）
（3）当A为顶点时，B必为顶点.S△AOB=1 （8分）
当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b

（11分）

所以三角形的面积为定值.（12分）
5（1） ……………………………… (2分 )
…………………………………(4分)
个
记：A = , 则A=为整数
= A (A+1) ， 得证 ………………………………………………………( 6分) (2) ………………………………………………… (8分)
……………………………………………(12分)
6.解：（1）设C ( x , y )， ,由①知,G为 △ABC的重心 ， G(,) …………………………………………（2分）
由②知M是△ABC的外心，M在x轴上
由③知M（，0），
由 得
化简整理得：（x≠0 ）………………………………………… (6分) （2）F（，0 ）恰为的右焦点
设PQ的斜率为k≠0且k≠±，则直线PQ的方程为y = k ( x －)
由
设P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = , x1·x2 = …… （8分）
-7-
则| PQ | = ·
= ·
=
RN⊥PQ,把k换成得 | RN | = ………………………（ 10分)
S =| PQ | · | RN |
= =)

≥2 ， ≥16
≤ S < 2 ， (当 k = ±1时取等号) ……………………………………（12分）
又当k不存在或k = 0时S = 2
综上可得 ≤ S ≤ 2
Smax = 2 ， Smin = ……………………………………（14分）
7．解：⑴ 又∵为锐角
∴ ∴
⑵ ∵ ∴都大于0
∴ ∴
⑶
∴
∴

∵, , 又∵
∴ ∴
∴
8. (本小题满分14分)
解：（1），……………………2分
故数列是首项为2，公比为2的等比数列。……………………3分
，…………………………………………4分
（2），……………5分
①
②
②—①得，即③……………………8分
④
④—③得，即……………………9分
所以数列是等差数列
（3）………………………………11分
设，则
…………13分
………………………………14分
9. (本小题满分16分
（1）当时，，………………1分
在（—1，1）上为单调递增函数，在（—1，1）上恒成立…………2分
在（—1，1）上恒成立……………………3分
………………………………………………………4分
（2）设，则

10、①；③
11、 解：（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
则
即A、C两个救援中心的距离为
（2），所以P在BC线段的垂直平分线上
又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且
∴双曲线方程为
BC的垂直平分线的方程为
联立两方程解得：

∴∠PAB＝120°所以P点在A点的北偏西30°处
（3）如图，设

又∵

即A、B收到信号的时间差变小
12、解：（Ⅰ）三个函数的最小值依次为，，，…………………… …3分
由，得
∴
，
故方程的两根是，．
故，．………………………4分
，即
∴ ． …………………………………………………………5分
（Ⅱ）①依题意是方程的根，
故有，，
且△，得．
由………………………7分
；得，，．
由（Ⅰ）知，故，
∴ ，
∴ ．…………………………………………9分
②

（或）． ………………………………………11分
由（Ⅰ）
∵ ，
∴ ，
又，
∴ ，
，（或） …………………13分
∴ ．…………………………………15分
13．（本小题满分12分）
解：（I）由，
∴直线l的斜率为， …………………………………………………………1分
故l的方程为，
∴点A坐标为（1，0） ……………………………………………………………… 2分
设 则，
由得

整理，得 ………………………………………………………………4分
∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆 …………………………………………………………………………………… 5分
（II）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k(x－2)(k≠0)①

将①代入，整理，得
，
由△>0得0<k2<. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)
则 ②………………………………………………………7分
令，
由此可得
由②知

.
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3－2，1）.………………12分
14．（本小题满分14分）
解：（I）由题意

（II）由（I）知：

令h(x)=px2－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）为单调函数，只需h(x)在（0，+∞）满足：
h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.………………………………4分
①，

∴g(x)在（0，+∞）单调递减，
∴p=0适合题意.………………………………………………5分
②当p>0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向上抛物线，
称轴为x=∈（0，+∞）.
∴h(x)min=p－.
只需p－≥0，即p≥1时h(x)≥0，g′(x) ≥0，
∴g(x)在(0,+ ∞)单调递增，∴p≥1适合题意.…………………………7分
③当p<0时，h(x)=px2－2x+p图象为开口向下的抛物线，
其对称轴为x=（0，+∞），
只需h(0)≤0，即p≤0时h(0)≤（0,+ ∞)恒成立.
∴g′(x)<0 ，∴g(x)在（0,+ ∞）单调递减，
∴p<0适合题意.
综上①②③可得，p≥1或p≤0.……………………………………9分
（III）证明：①即证：lnx－x+1≤0 (x>0)，
设.
当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；
当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；
∴x=1为k(x)的极大值点，
∴k(x)≤k(1)=0.
即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.………………………………11分
②由①知lnx≤x－1,又x>0，

∴结论成立.…………………………………………………………………………14分
15．解：（Ⅰ）∴
当时，
，即是等比数列． ∴； ………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，
则有而
故，解得，再将代入得成立，
所以．
（III）证明：由（Ⅱ）知，所以

，
由得
所以，
从而

．
即． …………………………14分
16．解：（Ⅰ），由题意及导数的几何意义得
， 　（1）
， （2） ………………2分
又，可得，即，故 ………3分
由（1）得，代入，再由，得
， （3） ……………………4分
将代入（2）得，即方程有实根．
故其判别式得
，或， （4） ……………………5分
由（3），（4）得； ……………………6分
（Ⅱ）由的判别式，
知方程有两个不等实根，设为，
又由知，为方程（）的一个实根，则有根与系数的关系得
， ……………………9分
当或时，，当时，，
故函数的递增区间为，由题设知，
因此，由（Ⅰ）知得
的取值范围为； ……………………12分
（Ⅲ）由，即，即，
因为，则，整理得，
设，可以看作是关于的一次函数，
由题意对于恒成立，
故 即得或，
由题意，，
故，因此的最小值为． ……………………16分
17．（本小题满分12分） 解：（1）依题意，随机变量ξ的取值是0，1，6，8．
P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=6)= ，P(ξ=8)= ．

0
1
6
8

得分布列： ……6分
（2）=．……12分
18．（本小题满分14分）
解：（1）∵，∴．……2分 又∵ ∴，…………3分 ∴．……5分
由椭圆定义可知，，…6分
从而得，，． ∴、． …………7分
（2）∵F1（-2，0），F2（2，0），
由已知：，即，所以有：，设P（x，y）， …9分 则，…12分
Q（x，y）
M
F1
F2
O
y
x
即（或）
综上所述，所求轨迹方程为：．…14分

19．（本小题满分14分）
解：（1）由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2)
　　　　　　∵a1＝5，a2＝5　　∴a2＋2a1＝15
故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列 …………5分
（2）由（1）得an＋1＋2an＝5·3n 由待定系数法可得(an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n)　　　　　　即an－3n＝2(－2)n－1 故an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n ………9分
（3）由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－)n
令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n
　　 Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1 …………11分
得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1＝－n()n+1＝2[1－()n]－n()n+1
　∴ Sn＝6[1－()n]－3n()n+1＜6
要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N＊恒成立，只须m≥6 …14分
20．（本小题满分14分）解：（1），当且仅当时等号成立，故的取值范围为．……5分
（2）解法一（函数法）　
……6分
由，又，，∴在上是增函数， ……7分
所以
即当时不等式成立．　………9分
解法二（不等式证明的作差比较法）
，
将代入得
， ……6分
∵，时，∴，即当时不等式成立．……………9分
（3）解法一（函数法）
记，则，
即求使对恒成立的的范围． …………10分
由（2）知，要使对任意恒成立，必有，
因此，∴函数在上递减，在上递增，………12分
要使函数在上恒有，必有，即，
解得． ……………14分
解法二（不等式证明的作差比较法）
由(2)可知，
要不等式恒成立，必须恒成立， …………10分
即恒成立， …………11分
由得，即， …………13分
解得．
因此不等式恒成立的的范围是． ……14分
21.解：（1）∵
∴
　　　(n≥2) …………3分
由得，，
∵，∴ ，…………4分
即从第2项起是以2为公比的等比数列。…………5分
（2） …………8分
当n≥2时，
∵是等比数列, ∴(n≥2)是常数，
∴3a+4=0，即 。…………11分
（3）由（1）知当时，，
所以，…………13分
所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……
显然最小项是前三项中的一项。…………15分
当时，最小项为8a-1；
当时，最小项为4a或8a-1；………16分
当时，最小项为4a；
当时，最小项为4a或2a+1；…………17分
当时，最小项为2a+1。…………18分

22. 解：（1） …………4分
（2）设（t>0），则，F(1,0)。
因为M、F、N共线，则有，…………6分
所以，解得，…………8分
所以，…………10分
因而，直线MN的方程是。…………11分
（3）“逆向问题”一：
①已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点。…………13分
证明：设过F的直线为y=k(x)，，，则
由得，所以，…………14分
，…………15分
=，…