【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(11月第三期)：F单元-平面向量.docx

F单元平面对量 名目F单元平面对量1F1平面对量的概念及其线性运算1F2平面对量基本定理及向量坐标运算1F3平面对量的数量积及应用1F4 单元综合1 F1平面对量的概念及其线性运算【数学（文）卷2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】12、已知向量，若与向量共线，则实数 .【学问点】向量共线的意义. F1【答案解析】-1 解析：由于，所以=，又与共线，所以.【思路点拨】依据向量的坐标运算求得的坐标，再由与向量共线得关于的方程，解此方程即可.【数学理卷2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）】8. 如图，半径为的扇形的圆心角为，点在上，且，若，则 A B C D【学问点】向量的线性运算性质及几何意义F1 【答案解析】A 解析：如图所示， 建立直角坐标系，即，即又，解得故选：A【思路点拨】本题考查了向量的坐标运算和向量相等，属于中档题第II卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）【数学文卷2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】15. 向量在正方形网格中的位置如图所示.设向量,若，则实数_.【学问点】向量垂直于与其数量积的关系. F1 F3【答案解析】3 解析：由于，,所以,解得.【思路点拨】由正方形网格图可得向量的模，再由得，进而得关于的方程求解.【数学文卷2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】7. 已知中，,为的中点，则（ ）A.6 B. 5 C.4 D.3【学问点】向量的数量积；向量加法的平行四边形法则；余弦定理. F3 F1 C8【答案解析】D 解析：由得bccosA=-16,又a=BC=10，代入余弦定理得，由于,所以,所以.从而3，故选D.【思路点拨】依据向量数量积的定义得bccosA=-16，代入余弦定理得，再由向量加法的平行四边形法则得，两边平方，转化为数量积运算得结论.【数学文卷2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】3. 已知向量,且，则（ ） A.3 B. C. D.【学问点】向量共线的意义. F1【答案解析】B解析：由于,，所以，又，所以-4x+x+1=0,解得x=,故选B.【思路点拨】依据向量共线的意义得关于x的方程，求得x值.【数学文卷2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】14、如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，DAB=60, ,则的值为 .【学问点】向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3【答案解析】3 解析：,.所以=.【思路点拨】先把分别用表示，再利用向量的数量积求解.【数学文卷2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】10.若点M是ABC所在平面内的一点，且满足，则ABM与ABC面积之比等于A.B.C.D.【学问点】平面对量及其应用 F1【答案解析】C 解析：如图G为BC的中点，点M是ABC所在平面内的一点，且满足 ，则,面积相等，所以ABM与ABC面积之比等于，故选：C【思路点拨】由得，设G为BC的中点，可得，依据ABG和ABC面积的关系，ABM与ABC面积之比，求出ABM与ABC的面积之比【数学卷2021届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试（202210）】7.若是的重心，分别是角的对边，则角 ( ) A B. C D.【学问点】向量的线性运算；余弦定理. F1 C8【答案解析】D 解析：由于是的重心，所以,同理，, .代入已知等式整理得,又由于不共线，所以，所以，由于,所以，故选D.【思路点拨】利用向量的线性运算及共线向量的性质，得关于a,b,c的方程组，从而用b表示a,c，然后用余弦定理求解.F2平面对量基本定理及向量坐标运算【数学（理）卷2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】16（本小题满分12分）已知向量m=(sinx，cosx)，n=(cosx，cosx)，其中0，函数2mn-1的最小正周期为() 求的值；() 求函数在，上的最大值【学问点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值.C7,F2【答案解析】(1) (2) 解析：解：()2mn-1= 6分由题意知：，即，解得7分() 由()知， x，得，又函数y=sinx在，上是减函数， 10分 =【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式，求出的值，再依据解析式在定义域内求出函数的最大值.【数学（文）卷2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】16、（本小题满分12分）已知向量，其中函数的最小正周期为.（1）求的值.（2）求函数在上的最大值.【学问点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值. F2 C7【答案解析】(1) (2) 解析：(1)2mn-1 = 6分由题意知：，即，解得7分(2) 由()知， x，得，又函数y=sinx在，上是减函数， 10分 =12分【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式，求出的值，再依据解析式在定义域内求出函数的最大值.【数学理卷2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211） 】16.已知是单位向量,.若向量满足_【学问点】向量的模F2 【答案解析】 解析：是单位向量，若向量满足，设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则=（x1，y1），（x1）2+（y1）2=1，故向量|的轨迹是在以（1，1）为圆心，半径等于1的圆上，|的最大值为，故答案为：【思路点拨】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出【数学文卷2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】18（本小题满分12分）已知向量且A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角.（1）求角C的大小；（2）若，求c边的长.【学问点】向量的坐标运算；正弦定理；余弦定理. F2 C8 【答案解析】(1) ；（2）6. 解析：（1）对于， 又， （2）由，由正弦定理得，即由余弦弦定理，【思路点拨】（1）利用向量数列积坐标表达式，诱导公式，二倍角公式求得结果；（2）由正弦定理，向量数列积的定义式，以及余弦定理求得结果.【数学文卷2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】17、（本小题满分10分）在中，内角A、B、C的对边分别为，向量，且（1）求锐角B的大小；（2）已知，求的面积的最大值。【学问点】二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数C5 C6 F2 【答案解析】（1）；（2）解析：（1）由得 整理得 为锐角 5 （2）由余弦定理得4= 10【思路点拨】（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值【数学文卷2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】3、已知是两个非零向量，给定命题，命题，使得，则是的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【学问点】必要条件、充分条件与充要条件的推断；向量的几何表示A2 F2 【答案解析】C 解析：（1）若命题p成立，是两个非零向量，|=|，即|cos，|=|，cos，=1，=00或，=1800，共线，即；tR，使得=t，由命题p成立能推出命题q成立（2）若命题p成立，即tR，使得=t，则，两个非零向量共线，=00或，=1800，cos，=1，即|cos，|=|，|=|，由命题q成立能推出命题p成立p是q的充要条件故选C【思路点拨】利用两个向量的数量积公式，由命题p成立能推出命题q成立，由命题q成立能推出命题p成立，p是q的充要条件【数学文卷2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】13.设平面对量a=(1,2),b=(-2,y),若a/b，则y=_.【学问点】向量平行的充要条件 F2【答案解析】-4 解析：a=(1,2),b=(-2,y),a/b ，故答案为：-4【思路点拨】直接利用向量共线的坐标表示列式计算.【数学卷2021届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试（202210）】10如图，是半径为5的圆上的一个定点，单位向量在点处与圆相切，点是圆上的一个动点，且点与点不重合，则的取值范围是( ) A B. C D. 【学问点】向量数量积的坐标运算. F2 F3【答案解析】B 解析：以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，则圆O的方程为：，A(0,-5),设P(x,y),则，所以，所以的取值范围是，故选B.【思路点拨】建立适当直角坐标系，得点P所在圆的方程，及向量的坐标，利用向量数量积的坐标运算求得结论.F3平面对量的数量积及应用【数学理卷2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】17在中，角所对的边分别为，且满足，.（1）求的面积；（4分）（2）若、的值. （6分）【学问点】 向量的运算；余弦定理.C8,F3【答案解析】(1)2(2) 解析：（1）,而 又， -4分（2）而， 又，-6分【思路点拨】依据向量的运算求出两边的乘积，再用正弦与余弦定理可求出三角值.【数学理卷2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】4在中，且，点满足则等于 （ ） A B C D 【学问点】平面对量的数量积及应用F3【答案解析】B 由题意得 AB=3，ABC是等腰直角三角形，=+=0+|cos45=33=3，故选B【思路点拨】由，再利用向量和的夹角等于45，两个向量的数量积的定义，求出的值【数学理卷2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）word版】5、若等边ABC边长为，平面内一点M满足，则=（ ）A、 B、 C、 D、【学问点】平面对量数量积的性质及其运算律F3 【答案解析】C 解析：，故选C.【思路点拨】先用向量,表示出向量,，再求内积即可得解。【数学理卷2021届湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高三四校联考（202210）word版(1)】6若O为ABC所在平面内任一点，且满足，则ABC确定是（ ）A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D等腰直角三角形【学问点】平面对量的数量积及应用F3【答案解析】B (-)(+-2)=(-)(-)+(-)=(-)(+)=(+)=(-)(+)=|2-|2=0，|=|，ABC为等腰三角形故答案为：B【思路点拨】利用向量的运算法则将等式中的向量, , 用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的外形【数学理卷2021届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（202211）word版】6在中，已知，若点在斜边上，则的值为（ ）。A48 B24 C12 D6【学问点】平面对量数量积的运算 F3【答案解析】B解析：以AC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，则有A（0,0）B(0,6)C（x，0）D（ ） 【思路点拨】由题意建立适当的坐标系，写出各点坐标，利用数量积的坐标运算即可求解。【数学理卷2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】5在中，且，点满足等于A3 B2C4 D6【学问点】平面对量的数量积及应用F3【答案解析】A 由题意得 AB=3，ABC是等腰直角三角形，=（）=+=0+|cos45=33=3，故选A【思路点拨】由=（），再利用向量和的夹角等于45，两个向量的数量积的定义，求出的值【数学理卷2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）】10. 向量、满足 ，与的夹角为，则 .【学问点】平面对量的数量积及其应用.F3 【答案解析】 解析：, , .【思路点拨】先把两边平方，再结合公式即可求出。【数学文卷2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】15. 向量在正方形网格中的位置如图所示.设向量,若，则实数_.【学问点】向量垂直于与其数量积的关系. F1 F3【答案解析】3 解析：由于，,所以,解得.【思路点拨】由正方形网格图可得向量的模，再由得，进而得关于的方程求解.【数学文卷2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】7. 已知中，,为的中点，则（ ）A.6 B. 5 C.4 D.3【学问点】向量的数量积；向量加法的平行四边形法则；余弦定理. F3 F1 C8【答案解析】D 解析：由得bccosA=-16,又a=BC=10，代入余弦定理得，由于,所以,所以.从而3，故选D.【思路点拨】依据向量数量积的定义得bccosA=-16，代入余弦定理得，再由向量加法的平行四边形法则得，两边平方，转化为数量积运算得结论.【数学文卷2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】16.已知是单位向量，.若向量满足_ 【学问点】平面对量的数量积及应用F3【答案解析】-1，+1由， 是单位向量， =0可设 =（1，0）， =（0，1），=（x，y）向量满足|-|=1， |（x-1，y-1）|=1，=1，即（x-1）2+（y-1）2=1其圆心C（1，1），半径r=1|OC|=-1|=+1|的取值范围是-1，+1故答案为：-1，+1【思路点拨】由， 是单位向量， =0可设 =（1，0）， =（0，1），=（x，y）由向量满足|-|=1，可得（x-1）2+（y-1）2=1其圆心C（1，1），半径r=1利用|OC|-r|= |OC|+r即可得出【数学文卷2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】4.已知向量（ ）A. B. C. D.【学问点】平面对量的数量积及应用F3【答案解析】C 由向量=（+1，1），=（+2，2），得=(+1，1)+(+2，2)=(2+3，3)，=(+1，1)-(+2，2)=(-1，-1)由（） ()，得（2+3）（-1）+3（-1）=0，解得：=-3故答案为：C【思路点拨】由向量的坐标加减法运算求出（）, ()的坐标，然后由向量垂直的坐标运算列式求出的值【数学文卷2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】18、（本题满分10分）已知向量（0，0）。函数，的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点。（1）求的表达式；（2）求的值。【学问点】三角函数中的恒等变换应用；平面对量数量积的运算C7 F3 【答案解析】（1）；（2） 解析：（1）= 由题意知：周期，。又图象过点，即，0， 。 5（2）的周期， 原式=。 10【思路点拨】（1）依据向量的数量积运算、平方关系、二倍角的余弦公式化简解析式，由周期公式和题意求出的值，再把点代入化简后，结合的范围求出；（2）依据函数的周期为4，求出一个周期内的函数值的和，再依据周期性求出式子的值【数学文卷2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】7、已知向量，向量，且，则实数等于（ ）A、 B、 C、 D、【学问点】数量积推断两个平面对量的垂直关系F3 【答案解析】D 解析：由向量，向量，=（1x，4），又，1（1x）+24=0，解得x=9故选D【思路点拨】由给出的向量的坐标求出的坐标，然后直接利用向量垂直的坐标表示列式求解x的值【数学文卷2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】14、如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，DAB=60, ,则的值为 .【学问点】向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3【答案解析】3 解析：,.所以=.【思路点拨】先把分别用表示，再利用向量的数量积求解.【数学文卷2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】18.(本小题满分14分)已知为的三个内角的对边，向量，,，(1)求角的大小；(2)求的值【学问点】余弦定理的应用；平面对量的综合题C8F3 【答案解析】（1） ;(2) c=2或 解析：（1），3分则，5分所以，7分又，则或8分又ab，所以9分（2） 由余弦定理：10分得c=2或14分【思路点拨】（1），则，则有化简后即可求角B的大小；（2）由余弦定理即可求c的值【数学文卷2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】6.已知向量满足（ ） 【学问点】数量积表示两个向量的夹角；平面对量数量积的运算F3 【答案解析】C 解析：设的夹角为，0180，则由题意可得（）=0，即 +=1+12cos=0，解得cos=，=120，故选C【思路点拨】设，的夹角为，0180，则由题意可得（）=0，解得cos=，可得 的值【数学文卷2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】18.(本小题满分12分)已知向量m=(sinx,-1),n=(),函数=m2+mn-2（1）求的最大值，并求取最大值时x的取值集合;(2)已知a,b,c分别为ABC内角A、B、C的对边，且a,b,c成等比数列，角B为锐角，且,求的值.【学问点】平面对量的数量积运算；三角恒等变换；正弦定理 F3 C5 C8【答案解析】解：（1）.故，得所以取最大值时x的取值集合为。（2）由及正弦定理得于是【思路点拨】（1）把给出的向量的坐标代入函数解析式，化简整理后得到，直接由即可得到使函数取得最大值1的的取值集合；（2）由B为锐角，利用求出B的值，把要求的式子切化弦，由a，b，c成等比数列得到，代入化简后即可得到结论。【数学文卷2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】4.平面对量与的夹角为60，=(2,0)，| =1，则|+2|等于A. B. C. 4 D.【学问点】向量的数量积及其坐标运算 F3【答案解析】D 解析：由已知得，故选：B【思路点拨】依据向量的坐标求出向量的模，最终结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最终不要遗忘开方【数学文卷2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】5在中，且，点满足等于A3 B2C4 D6【学问点】平面对量的数量积及应用F3【答案解析】A 由题意得 AB=3，ABC是等腰直角三角形，=（）=+=0+|cos45=33=3，故选A【思路点拨】由=（），再利用向量和的夹角等于45，两个向量的数量积的定义，求出的值【数学文卷2021届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（202210）】14、正三角形中，,是边上的点，且满足，则= .【学问点】平面对量的数量积及应用F3【答案解析】 由于正三角形ABC中，AB=3，D是边BC上的点，且满足，则点D为线段BC的中点，故有AD=ABsinB=3=，且BAD=，则=ABADcosBAD=3=，故答案为：【思路点拨】由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得AD和BAD的值，可得 =ABADcosBAD 的值F4 单元综合【数学理卷2021届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（202211） 】12在中，是的内心，若,其中，则动点的轨迹所掩盖图形的面积为 （ ） A. B . C . D. 【学问点】单元综合F4【答案解析】B 依据向量加法的平行四边形法则，得动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形，其面积为BOC面积的2倍在ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，代入数据，解得BC=7，设ABC的内切圆的半径为r，则bcsinA=(a+b+c)r，解得r=，所以SBOC=BCr=7=，故动点P的轨迹所掩盖图形的面积为2SBOC=故答案为B.【思路点拨】依据向量加法的平行四边形法则，得动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形，其面积为BOC面积的2倍 第II卷（非选择题，共90分）