资源描述
F单元 平面对量
名目
F单元 平面对量 1
F1 平面对量的概念及其线性运算 1
F2 平面对量基本定理及向量坐标运算 1
F3 平面对量的数量积及应用 1
F4 单元综合 1
F1 平面对量的概念及其线性运算
【数学（文）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】12、已知向量，若与向量共线，则实数 .
【学问点】向量共线的意义. F1
【答案解析】-1 解析：由于，所以=，又与
共线，所以.
【思路点拨】依据向量的坐标运算求得的坐标，再由与向量共线得关于的方程，解此方程即可.
【数学理卷·2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）】8. 如图，半径为的扇形的圆心角为，点在上，且，若，则
A． B． C． D．
【学问点】向量的线性运算性质及几何意义．F1
【答案解析】A 解析：如图所示， 建立直角坐标系．
∵，．，
即．，∴，
即．又，
．∴．
∴，解得
．故选：A．
【思路点拨】本题考查了向量的坐标运算和向量相等，属于中档题．
第II卷 （非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】15. 向量在正方形网格中的位置如图所示.设向量,
若，则实数__________.
【学问点】向量垂直于与其数量积的关系. F1 F3
【答案解析】3 解析：由于，,
所以
,解得.
【思路点拨】由正方形网格图可得向量的模，再由得，进而得关于的方程求解.
【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】7. 已知中，,为的中点，则（ ）
A.6 B. 5 C.4 D.3
【学问点】向量的数量积；向量加法的平行四边形法则；余弦定理. F3 F1 C8
【答案解析】D 解析：由得bccosA=-16,又a=BC=10，代入余弦定理得，
，由于,
所以,
所以.从而3，故选D.
【思路点拨】依据向量数量积的定义得bccosA=-16，代入余弦定理得，再由向量加法的平行四边形法则得，两边平方，转化为数量积运算得结论.
【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】3. 已知向量,,且∥，则（ ）
A.3 B. C. D.
【学问点】向量共线的意义. F1
【答案解析】B解析：由于,，所以，又∥，
所以-4x+x+1=0,解得x=,故选B.
【思路点拨】依据向量共线的意义得关于x的方程，求得x值.
【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】14、如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，∠DAB=60, ,
则的值为 .
【学问点】向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3
【答案解析】3 解析：,.
所以=
.
【思路点拨】先把分别用表示，再利用向量的数量积求解.
【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】10.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC面积之比等于
A. B. C. D.
【学问点】平面对量及其应用 F1
【答案解析】C 解析：如图G为BC的中点，
点M是△ABC所在平面内的一点，且满足 ，
则,
,
面积相等，
所以△ABM与△ABC面积之比等于，
故选：C
【思路点拨】由得，设G为BC的中点，可得，依据△ABG和△ABC面积的关系，△ABM与△ABC面积之比，求出△ABM与△ABC的面积之比．
【数学卷·2021届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试（202210）】7.若是的重心，分别是角的对边，则角 ( )
A． B. C． D.
【学问点】向量的线性运算；余弦定理. F1 C8
【答案解析】D 解析：由于是的重心，所以,同理，,
.代入已知等式整理得
,又由于不共线，所以
，所以，
由于,所以，故选D.
【思路点拨】利用向量的线性运算及共线向量的性质，得关于a,b,c的方程组，从而用b表示a,c，然后用余弦定理求解.
F2 平面对量基本定理及向量坐标运算
【数学（理）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】16．（本小题满分12分）
已知向量m=(sinωx，cosωx)，n=(cosωx，cosωx)，其中ω>0，函数2m·n-1的最小正周期为π．
(Ⅰ) 求ω的值；
(Ⅱ) 求函数在[，]上的最大值．
【学问点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值.C7,F2
【答案解析】(1) (2) 解析：解：(Ⅰ)2m·n-1
=． ……………………………6分
由题意知：，即，解得．…………………………………7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，
∵ ≤x≤，得≤≤，
又函数y=sinx在[，]上是减函数，
∴ …………………………………10分
=．………………
【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式，求出的值，再依据解析式在定义域内求出函数的最大值.
【数学（文）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】16、（本小题满分12分）已知向量，其中函数的最小正周期为.
（1）求的值.
（2）求函数在上的最大值.
【学问点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值. F2 C7
【答案解析】(1) (2)
解析：(1)2m·n-1
=． ………………6分
由题意知：，即，解得．……………………7分
(2) 由(Ⅰ)知，
∵ ≤x≤，得≤≤，
又函数y=sinx在[，]上是减函数，
∴ …………………………10分
=．…………………………………………………12分
【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式，求出的值，再依据解析式在定义域内求出函数的最大值.
【数学理卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211） 】16.已知是单位向量,.若向量满足______
【学问点】向量的模．F2
【答案解析】 解析：∵是单位向量，．若向量满足，
∴设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则=（x﹣1，y﹣1），
∵，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
故向量||的轨迹是在以（1，1）为圆心，半径等于1的圆上，
∴||的最大值为，故答案为：
【思路点拨】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．
【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】18．（本小题满分12分）
已知向量且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角.
（1）求角C的大小；
（2）若，求c边的长.
【学问点】向量的坐标运算；正弦定理；余弦定理. F2 C8
【答案解析】(1) ；（2）6. 解析：（1）
对于，
又，
（2）由，
由正弦定理得，
即由余弦弦定理，
，
【思路点拨】（1）利用向量数列积坐标表达式，诱导公式，二倍角公式求得结果；
（2）由正弦定理，向量数列积的定义式，以及余弦定理求得结果.
【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】17、（本小题满分10分）在中，内角A、B、C的对边分别为，向量，且
（1）求锐角B的大小；
（2）已知，求的面积的最大值。
【学问点】二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数．C5 C6 F2
【答案解析】（1）；（2）
解析：（1）由得
整理得 为锐角
………………5’
（2）由余弦定理得4=
………………10’
【思路点拨】（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】3、已知是两个非零向量，给定命题，命题，使得，则是的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【学问点】必要条件、充分条件与充要条件的推断；向量的几何表示．A2 F2
【答案解析】C 解析：（1）若命题p成立，∵，是两个非零向量，|•|=||||，即|||||•cos＜，＞|=||||，∴cos＜，＞=±1，＜，＞=00或＜，＞=1800∴，共线，即；∃t∈R，使得=t，∴由命题p成立能推出命题q成立．
（2）若命题p成立，即∃t∈R，使得=t，则，两个非零向量共线，∴＜，＞=00或＜，＞=1800，∴cos＜，＞=±1，即|||||•cos＜，＞|=||||，
∴|•|=||||，∴由命题q成立能推出命题p成立．∴p是q的充要条件．故选C．
【思路点拨】利用两个向量的数量积公式，由命题p成立能推出命题q成立，由命题q成立能推出命题p成立，p是q的充要条件．
【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】13.设平面对量a=(1,2),b=(-2,y),若a//b，则y=_____________.
【学问点】向量平行的充要条件 F2
【答案解析】-4 解析：a=(1,2),b=(-2,y),a//b
，
故答案为：-4
【思路点拨】直接利用向量共线的坐标表示列式计算.
【数学卷·2021届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试（202210）】10．如图，是半径为5的圆上的一个定点，
单位向量在点处与圆相切，
点是圆上的一个动点，且点与
点不重合，则的取值范围是( )
A． B. C． D.
【学问点】向量数量积的坐标运算. F2 F3
【答案解析】B 解析：以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，则圆O的方程为：
，A(0,-5),,设P(x,y),则，
所以，所以的取值范围是，故选B.
【思路点拨】建立适当直角坐标系，得点P所在圆的方程，及向量的坐标，利用
向量数量积的坐标运算求得结论.
F3 平面对量的数量积及应用
【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】17．在中，角所对的边分别为，且满足，.
（1）求的面积；（4分）
（2）若、的值. （6分）
【学问点】 向量的运算；余弦定理.C8,F3
【答案解析】(1)2(2) 解析：（1）,
而
又，， ------------4分
（2）而，
，
又，----------------------------------6分
【思路点拨】依据向量的运算求出两边的乘积，再用正弦与余弦定理可求出三角值.
【数学理卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】4．在中，，且，点满足则等于 （ ）
A． B． C． D．
【学问点】平面对量的数量积及应用F3
【答案解析】B 由题意得 AB=3，△ABC是等腰直角三角形，
=+=0+||•||cos45°
=×3×3×=3，故选B．
【思路点拨】由，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出的值．
【数学理卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）word版】5、若等边△ABC边长为，平面内一点M满足，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
【学问点】平面对量数量积的性质及其运算律．F3
【答案解析】C 解析：∵
∴
∴
，故选C.
【思路点拨】先用向量,表示出向量,，再求内积即可得解。
【数学理卷·2021届湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高三四校联考（202210）word版(1)】6．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足，则△ABC确定是（ ）
A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D．等腰直角三角形
【学问点】平面对量的数量积及应用F3
【答案解析】B ∵(-)•(+-2)=(-)[(-)+(-)]
=(-)•(+)=•(+)=(-)•(+)
=||2-||2=0，∴||=||，∴△ABC为等腰三角形．故答案为：B
【思路点拨】利用向量的运算法则将等式中的向量, , 用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的外形．
【数学理卷·2021届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（202211）word版】6．在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（ ▲ ）。
A．48 B．24 C．12 D．6
【学问点】平面对量数量积的运算 F3
【答案解析】B解析：以AC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，则有A（0,0）B(0,6)
C（x，0）D（ ）
【思路点拨】由题意建立适当的坐标系，写出各点坐标，利用数量积的坐标运算即可求解。
【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】5．在中，，且，点满足等于
A．3 B．2 C．4 D．6
【学问点】平面对量的数量积及应用F3
【答案解析】A 由题意得 AB=3，△ABC是等腰直角三角形，=（）
=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选A．
【思路点拨】由=（），再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出的值．
【数学理卷·2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）】10. 向量、满足 ，，与的夹角为，则 .
【学问点】平面对量的数量积及其应用.F3
【答案解析】 解析：, , .
【思路点拨】先把两边平方，再结合公式即可求出。
【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】15. 向量在正方形网格中的位置如图所示.设向量,
若，则实数__________.
【学问点】向量垂直于与其数量积的关系. F1 F3
【答案解析】3 解析：由于，,
所以
,解得.
【思路点拨】由正方形网格图可得向量的模，再由得，进而得关于的方程求解.
【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】7. 已知中，,为的中点，则（ ）
A.6 B. 5 C.4 D.3
【学问点】向量的数量积；向量加法的平行四边形法则；余弦定理. F3 F1 C8
【答案解析】D 解析：由得bccosA=-16,又a=BC=10，代入余弦定理得，
，由于,
所以,
所以.从而3，故选D.
【思路点拨】依据向量数量积的定义得bccosA=-16，代入余弦定理得，再由向量加法的平行四边形法则得，两边平方，转化为数量积运算得结论.
【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】16.已知是单位向量，.若向量满足________．
【学问点】平面对量的数量积及应用F3
【答案解析】[-1，+1]．
由， 是单位向量， • =0．可设 =（1，0）， =（0，1），=（x，y）
∵向量满足|--|=1， ∴|（x-1，y-1）|=1，∴=1，
即（x-1）2+（y-1）2=1．其圆心C（1，1），半径r=1．∴|OC|=．
∴-1≤||=+1．∴||的取值范围是[-1，+1]．
故答案为：[-1，+1]．
【思路点拨】由， 是单位向量， • =0．可设 =（1，0）， =（0，1），=（x，y）．由向量满足|--|=1，可得（x-1）2+（y-1）2=1．其圆心C（1，1），半径r=1．利用|OC|-r≤||= ≤|OC|+r即可得出．
【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】4.已知向量（ ）
A. B. C. D.
【学问点】平面对量的数量积及应用F3
【答案解析】C 由向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），
得=(λ+1，1)+(λ+2，2)=(2λ+3，3)，=(λ+1，1)-(λ+2，2)=(-1，-1)
由（） ()，得（2λ+3）×（-1）+3×（-1）=0，解得：λ=-3．故答案为：C．
【思路点拨】由向量的坐标加减法运算求出（）, ()的坐标，然后由向量垂直的坐标运算列式求出λ的值．
【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】18、（本题满分10分）已知向量（＞0，0＜＜）。函数，的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点。
（1）求的表达式；
（2）求的值。
【学问点】三角函数中的恒等变换应用；平面对量数量积的运算．C7 F3
【答案解析】（1）；（2）
解析：（1）
=
由题意知：周期，∴。
又图象过点，∴即，
∵0＜＜，∴，，
∴。 ………………5’
（2）的周期，
∵
原式=。 ………………10’
【思路点拨】（1）依据向量的数量积运算、平方关系、二倍角的余弦公式化简解析式，由周期公式和题意求出ω的值，再把点代入化简后，结合φ的范围求出φ；（2）依据函数的周期为4，求出一个周期内的函数值的和，再依据周期性求出式子的值．
【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】7、已知向量，向量，且，则实数等于（ ）
A、 B、 C、 D、
【学问点】数量积推断两个平面对量的垂直关系．F3
【答案解析】D 解析：由向量，向量，∴=（1﹣x，4），
又，∴1×（1﹣x）+2×4=0，解得x=9．故选D．
【思路点拨】由给出的向量的坐标求出的坐标，然后直接利用向量垂直的坐标表示列式求解x的值．
【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】14、如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，∠DAB=60, ,
则的值为 .
【学问点】向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3
【答案解析】3 解析：,.
所以=
.
【思路点拨】先把分别用表示，再利用向量的数量积求解.
【数学文卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】18.(本小题满分14分)已知为的三个内角的对边，向量，,，，
(1)求角的大小；(2)求的值．
【学问点】余弦定理的应用；平面对量的综合题．C8F3
【答案解析】（1） ;(2) c=2或
解析：（1），，…………………………3分
则，…………………………5分
所以，…………………………7分
又，则或…………………………8分
又a>b，所以…………………………9分
（2） 由余弦定理：…………………………10分
得c=2或…………………………………………………………………14分
【思路点拨】（1），则，则有化简后即可求角B的大小；（2）由余弦定理即可求c的值．
【数学文卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】6.已知向量满足（ ）
【学问点】数量积表示两个向量的夹角；平面对量数量积的运算．F3
【答案解析】C 解析：设的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）•=0，
即 +=1+1×2×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴θ=120°，故选C．
【思路点拨】设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）•=0，解得cosθ=﹣，可得θ 的值．
【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】18.(本小题满分12分)
已知向量m=(sinx,-1),n=(),函数=m2+mn-2
（1）求的最大值，并求取最大值时x的取值集合;
(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a,b,c成等比数列，角B为锐角，且,求的值.
【学问点】平面对量的数量积运算；三角恒等变换；正弦定理 F3 C5 C8
【答案解析】
解：（1）
.故，
得
所以取最大值时x的取值集合为。
（2）
由及正弦定理得于是
【思路点拨】（1）把给出的向量的坐标代入函数解析式，化简整理后得到，直接由即可得到使函数取得最大值1的的取值集合；
（2）由B为锐角，利用求出B的值，把要求的式子切化弦，由a，b，c成等比数列得到，代入化简后即可得到结论。
【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】4.平面对量与的夹角为60°，=(2,0)，|| =1，则|+2|等于
A. B. C. 4 D.
【学问点】向量的数量积及其坐标运算 F3
【答案解析】D 解析：由已知得，，
，
故选：B
【思路点拨】依据向量的坐标求出向量的模，最终结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最终不要遗忘开方．
【数学文卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】5．在中，，且，点满足等于
A．3 B．2 C．4 D．6
【学问点】平面对量的数量积及应用F3
【答案解析】A 由题意得 AB=3，△ABC是等腰直角三角形，=（）
=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选A．
【思路点拨】由=（），再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出的值．
【数学文卷·2021届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（202210）】14、正三角形中，,是边上的点，
且满足，则= .
【学问点】平面对量的数量积及应用F3
【答案解析】 由于正三角形ABC中，AB=3，D是边BC上的点，且满足，则点D为线段BC的中点，故有AD=AB•sin∠B=3×=，且∠BAD=，
则=AB•AD•cos∠BAD=3××=，故答案为：．
【思路点拨】由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得AD和∠BAD的值，可得 =AB•AD•cos∠BAD 的值．
F4 单元综合
【数学理卷·2021届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（202211） 】12．在中，是的内心，若,其中，则动点的轨迹所掩盖图形的面积为 （ ）
A. B . C . D.
【学问点】单元综合F4
【答案解析】B 依据向量加法的平行四边形法则，得动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形，其面积为△BOC面积的2倍．在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，代入数据，解得BC=7，
设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsinA=(a+b+c)r，解得r=，
所以S△BOC=×BC×r=×7×=，
故动点P的轨迹所掩盖图形的面积为2S△BOC=．故答案为B.
【思路点拨】依据向量加法的平行四边形法则，得动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形，其面积为△BOC面积的2倍．
第II卷（非选择题，共90分）
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