吉林省吉林一中2021届高三“教与学”质量检测1-数学理-Word版含答案.docx

2022—2021学年度吉林一中“教与学”质量检测1
高三数学试题(理科)
(答题时间120分钟，满分150分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知集合，，则集合
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则等于
A． B． C． D．
3． 若命题：，则：
A． B．
C． D．
4．两座灯塔A和B与海洋观看站C的距离都等于a km，灯塔A在观看站C的北偏东20°，灯塔B在观看站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为
A．a km B.a km
C．2a km D.a km
5．某程序框图如图所示，若输出的S = 57，则推断框内应为
A．k＞5? B．k＞4?
C．k＞7? D．k＞6?
6．过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为
A．或 B．
C． 或 　 D．或
7. 若，若的最大值为，则的值是
A． 　　 B． 　　C． 　　　　D．
8．函数，若，则下列不等式确定成立的是
A． B． C． D．
9．已知函数，其中为实数，若对恒成立，
且 ，则的单调递增区间是
A． B．
C． 　 D．
10．已知等比数列的公比且，又，则
A． B．
C． D．
11．已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率
A． B． C． 　 D．
12．已知函数，其导函数为．
①的单调减区间是； ②的微小值是；
③当时，对任意的且，恒有
④函数有且只有一个零点．其中真命题的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．设 (其中e为自然对数的底数)，则的值为 _________．
14．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在双曲线上，则为___________.　
15．设是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量，若，则的最大值为 ．
16．已知函数，若数列满足（），且是递增数列，则实数的取值范围是 ___________．
三、解答题
17．(本小题满分10分)
已知是函数图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）化简的解析式，并作出函数在上的图象简图（不要求写作图过程）．

18．(本小题满分12分)
已知等差数列{}的公差，它的前n项和为，若，且成等比数列，
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}的前n项和为，求证：．
19．(本小题满分12分)
在中，内角、、所对的边分别为，其外接圆半径为6， ，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的面积的最大值．

20．(本小题满分12分)
在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．

21．(本小题满分12分)
已知函数的图象在点处的切线方程为.
（Ⅰ）用表示出，；
（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围．

22．(本小题满分12分)
已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，.
经过点的直线与椭圆交于，两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长；
（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值.
数学 (理科)
参考答案及评分标准
一、选择题
1． D； 2． D；3． A；4． D； 5． B；6． D ；7. A；8． A ；
9． C ；10． A ；11．A ；12． C ．

二、填空题
13．；14． ；15． 5 ；16．（2,3）．
三、解答题
17． (本小题满分10分)
解：（I）方法1：， ………………2分
∵是函数图象一条对称轴，∴， …………… 4分
即，∴； ………………6分
方法2：∵，∴最值是，
………………2分
∵是函数图象的一条对称轴，∴，
………………4分
∴，
整理得，∴； ………………6分
（II） ………………7分
在上的图象简图如下图所示． ………………10分

18．(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)由已知，， ………………2分
又成等比数列，
由且可
解得， ………………4分
，
故数列{}的通项公式为； ………………6分
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)， ………………7分
， ………………9分

明显，． ………………12分

19．(本小题满分12分)
(Ⅰ)解： ，
………………3分

，……………………6分
(Ⅱ) ，即.
又. ………………………………8分
. ……………………10分
而时，. …………………………………………12分
20．(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)设圆的方程为x2＋y2＝r2， …………………………1分
由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故r＝＝2， ……………………3分
∴圆的方程是x2＋y2＝4； ………………………………4分
(Ⅱ) ∵|OP|＝＝>2，∴点P在圆外．
明显，斜率不存在时，直线与圆相离． ……………………………6分
故可设所求切线方程为y－2＝k(x－3)，
即kx－y＋2－3k＝0. ……………………………8分
又圆心为O(0,0)，半径r＝2，
而圆心到切线的距离d＝＝2，即|3k－2|＝2, ………………9分
∴k＝或k＝0， …………………………………11分
故所求切线方程为12x－5y－26＝0或y－2＝0． ……………………12分

21．(本小题满分12分)
　 解： (Ⅰ)， ………………………………………1分
由题设，则有， …………………………3分
解得. ………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，
令，
则 ， ………………………………………5分
……………7分
①当 ，
若 ，则，是减函数，
所以，当时，有， 即，
故在上不能恒成立． ……………………………9分
②当时，有
若，则，在上为增函数．
所以，当时，， 即，
故当时，． ……………………………………11分
综上所述，所求的取值范围为 ……………………12分

22．(本小题满分12分)
解：（I）由于为椭圆的焦点,所以又
所以所以椭圆方程为 …………………………3分
（Ⅱ）由于直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,
所以直线方程为,和椭圆方程联立得到
,消掉,得到 …………………………5分
所以
所以 …………………………6分
（Ⅲ）当直线无斜率时,直线方程为,
此时, 面积相等， …………7分
当直线斜率存在（明显）时,设直线方程为,
设
和椭圆方程联立得到,消掉得
明显，方程有根，且 ………………8分
此时
………………………………10分
由于,上式，（时等号成立）
所以的最大值为 ………………………………12分

另解：（Ⅲ）设直线的方程为：，则
由 得，．
设，，
则，． ………………8分
所以，，，
……………………10分
当时，．
由，得 ．
当时，
从而，当时，取得最大值．…………………………12分