广东省培正中学2020-2021学年高二下学期期末考试文科数学试题-Word版含答案.docx

广州市培正中学2022-2021学年其次学期期末考试高二数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）ABCD2若复数满足，则复数的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限3函数的定义域是（ ）ABCD4在中，则的值是（ ）ABCD5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）ABCD6如图是某算法的程序框图，则输出的（ ）ABCD7已知异面直线、分别在平面、内，且，则直线与、的位置关系是（ ）A与、都相交B至多与、中的一条相交C与、都不相交D至少与、中的一条相交8过点和，圆心在轴上的圆的方程是（ ）A B C D9小明同学每天下午到之间放学到家学习，小刚同学每天下午到之间到达小明家给他辅导功课，则小刚到小明家时就能见到小明的概率是（ ）ABCD10在直角坐标系平面中，已知点，其中是正整数，对于平面上任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点，则对任意偶数，用表示向量的坐标为（ ）ABCD二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分（一）必做题（1113题）11已知等差数列，满足，则此数列的前项的和 12函数，已知是函数的一个极值点，则实数 13已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定若为上动点，点的坐标为，则的最大值是 （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（，）中，曲线与的交点的直角坐标系坐标为 15（几何证明选讲选做题）如图，两圆相交于、两点，为两圆公共弦上任一点，从引两圆的切线、，若，则 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数，（1）求的值；（2）若，求17（本小题满分12分）在某中学进行的环保学问竞赛中，随机抽取名参赛同学的成果（得分的整数）进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别为，其次小组的频数为（1）求其次小组的频率，并补全这个频率分布直方图，画出频率分布折线图；（2）若接受分层抽样的方法，从样本中随机取人，则第三组和第四组各抽取多少人？（3）在（2）的条件下，从第三组和第四组抽取的人中任选取人，则她们不在同一组别的概率是多少？18（本小题满分14分）如图，是长方体，已知 ，、分别是上下底面和的对角线的交点，是的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离19（本小题满分14分）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）令，证明：对一切正整数，有20（本小题满分14分）在平面直角坐标中，动点到定直线：的距离比到定点的距离大，是轴上一动点（1）求动点的轨迹方程；（2）当时，过作直线，交动点的轨迹于、两点，证明：为定值；（3）设是轨迹方程在轴上方的点，过作垂直于轴，垂足为，为的中点，以为圆心，为半径作圆，争辩直线与圆的位置关系21（本小题满分14分）已知函数（且）（1）当时，求函数的极值；（2）求函数在区间上的最小值。班级_ 姓名_ 学号_ -密-封-线- 广州市培正中学2022-2021学年其次学期期末考试高二数学答卷选择题成果非选择题成果总分第卷 非选择题 （共 分 ）以下为非选择题答题区，必需用黑色字迹的签字笔或钢笔在指定的区域内作答，否则无效。二、填空题11 12 13 14 15 三、解答题161718192021.广州市培正中学2022-2021学年其次学期期末考试高二数学参考答案一、选择题1A【解析】，2A【解析】由得，所以对应的点位于第一象限3C【解析】由可得且，于是4D【解析】由与垂直，可得，所以5B【解析】由三视图可知，该几何体为一个三棱柱，体积为相对应的长方体的体积一半，所以体积为6C【解析】第一次执行循环，；其次次执行循环，；第三次执行循环，；第四次执行循环，此时退出循环，输出7D【解析】不能选C，否则与、分别平行，进而，与、为异面直线相冲突；若与、中一条平行，而与另一条相交，由直观性易知，这是可能的；同样，与、都相交也是可能的8C【解析】线段的垂直平分线方程为，即为令，得，即圆心为由两点间的距离公式，得所以适合题意的圆的方程为9B【解析】设小明时刻到家，则，小刚时刻到小明家，则，两人若要相见，需，即小刚在小明到家之后到达如图所示，由几何概型求得10A【解析】设为任意偶数，则，由条件可知，所以二、填空题11填【解析】12填【解析】，则为方程的根，所以13填【解析】，画出不等式组所表示的平面区域，平移代表直线，可得直线过点时目标函数取得最大值14填【解析】两式相除得，所以，于是，所以交点的直角坐标系坐标为15填【解析】由切割线定理可得，所以，即三、解答题16（本小题满分12分）【解析】（1）由于，所以4分（2）由于，所以6分所以，8分所以12分17（本小题满分12分）【解析】（1）由于各小组的频率之和为，第一、三、四、五组的频率分别是，所以其次小组的频率为2分由于其次小组的频率为，所以落在的其次小组的小长方形的高，由此可补全频率分布直方图（图阴影部分）和频率分布折线图如图所示4分（2）由于其次小组的频数为，频率为，所以，得（人）6分所以第三组抽取的人数为（人），第四组抽取的人数为（人）8分（3）用、表示第三组抽取的三位同学，第四组抽取的二位同学用、表示，则全部的基本大事为：、，、，共种10分其中满足条件的基本大事为：、，共种11分所以所求概率为12分18（本小题满分14分）【证明】（1）如图，设的中点为，连结、因为、分别是上下底面和的对角线的交点，是的中点，所以，且1分而，又由于，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以3分又由于平面，平面，所以平面4分（2）由于是长方体，且 ，所以，所以四边形是正方形，所以6分连结，由于、分别是上下底面和的对角线的交点，所以平面，从而有7分由于、平面，且，所以平面8分【解析】（3）由于，所以是等腰三角形，连结，且9分所以10分设点到平面的距离为，则三棱锥的体积11分又三棱锥的体积12分由于，即，所以，即点到平面的距离为14分19（本小题满分14分）【解析】（1）令，得，即1分由于，所以，即2分（2）由得4分由于，所以，从而，所以6分当时，8分当时，上式也成立，所以数列的通项公式为9分【证明】（3）由于，所以11分所以14分20（本小题满分14分）【解析】（1）依题意得，动点到定直线：的距离与到定点的距离相等，所以动点的轨迹是以直线：为准线，定点为焦点的抛物线2分由于，所以，所以动点的轨迹方程为4分【证明】（2）当时，设过、的直线方程为5分由，可得，于是，即为定值8分【解析】（3）由（1）和条件得，所以、的坐标分别为、，所以圆的圆心是点，半径为9分当时，直线的方程为，此时直线与圆相离10分当时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离令，解得；令，解得；令，解得12分综上所述，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交14分21（本小题满分14分）【解析】（1）函数（且）的定义域为当时，2分令，解得4分当时，当时，所以函数在处取得微小值，微小值为6分（2）由于函数的定义域为，且7分若，则有，所以函数在定义域为内为增函数，所以函数在区间上为增函数，所以函数在区间上的最小值为9分若，由于，所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数10分（i）若，即时，函数在区间上为增函数，所以函数在的最小值为11分（ii）若，即时，函数在区间为减函数，在上为增函数，所以函数在区间上的最小值为12分（iii）若，即时，函数在区间上为减函数，所以函数在的最小值为13分综上所述，当且时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为14分