河北省唐山一中等五校2021届高三上学期第二次联考数学(理)试题Word版含答案.docx

河北省“五个一名校联盟”2021届高三教学质量监测（二）
理科数学
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
1．设集合，，则（　　）
A．　　B．　　C．　　D．
2． 已知是虚数单位，和都是实数，且，则（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
3．设若，则的值为
A．　　　B．　　　C．　　　D．
4．设为两个非零向量，则“”是“与共线”的　　　　　　　　　　　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于
A． B．　　C． D．
6．已知 ，且 ，则
　A． B． C． D．
7．已知,点在内，且，设，则等于（ ）
A． B．3 C． D．
8．等差数列的前项和为，且，，则过点和 ()的直线的一个方向向量是(　　)
A． B． C． D．
9．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为( )
A． B．4 C． D．
10．在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为 （ ）
A． B． C． D．
11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位）
A． B．
C． 　D．
12．若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．
13．的开放式中的系数为 ＊　＊ ．
14．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为 ＊　＊ ．
15．设点满足条件，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是 ＊　＊ ．
16．在中，若，则的最大值 ＊　＊ ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17．已知数列的各项均为正数，前项和为，且
（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设求．
18．市一中随机抽取部分高一同学调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）假如上学路上所需时间不少于小时的同学可申请在学校住宿，若招生名，请估量新生中有多少名同学可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的高一同学中任选名同学，这名同学中上学路上所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

19．已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．

20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点．
（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．

21．已知函数
（Ⅰ）当时，推断函数的单调区间并赐予证明；
（Ⅱ）若有两个极值点，证明：．

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，假如多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
已知外接圆劣弧上的点（不与点、重合），延长至,延长交的延长线于．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知，对，恒成立，求的取值范围．

河北省“五个一名校联盟”2021届高三教学质量监测（二）
理科数学(答案)
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：BDADC CBADB AC
二、填空题：
13． -200 ．14． ．15． ．16． ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17．已知数列的各项均为正数，前项和为，且
（Ⅰ）求证数列是等差数列；
（Ⅱ）设求
解：（Ⅰ） ①
②
①-②得：整理得：
数列的各项均为正数，
时，数列是首项为公差为的等差数列 6分
（Ⅱ）由第一问得
12分

18．市一中随机抽取部分高一同学调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）假如上学所需时间不少于小时的同学可申请在学校住宿，若招生名，请估量新生中有多少名同学可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的高一同学中任选名同学，这名同学中上学所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中高一同学上学所需时间少于分钟的频率作为每名同学上学所需时间少于分钟的概率）
解：（Ⅰ）由直方图可得：
．
所以 ． 3分
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于小时的频率为：
，
由于，
所以1200名新生中出名同学可以申请住宿． 6分
（Ⅲ）的可能取值为
由直方图可知，每位同学上学所需时间少于分钟的概率为，
, ,
,,
． 10分
所以的分布列为：

0
1
2
3
4

．（或）
所以的数学期望为． 12分
19．已知四棱锥中，，底面是边长为的菱形，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．

19．解：（Ⅰ） 由于PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分
又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分
从而平面PBD⊥平面PAC． ……………6分
（Ⅱ）方法1． 过O作OH⊥PM交PM于H，连HD
由于DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为O-PM-D的平面角………………8分
又，且………………10分
从而………………11分

所以，即． ………………………12分

法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则,, …………8分
从而………………9分
由于BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为．……10分
设平面PMD的法向量为,由得

取，即 ……………11分
设与的夹角为，则二面角大小与相等
从而，得

从而，即． ……………12分
20．已知抛物线，直线与抛物线交于两点．
（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．

解：（Ⅰ）联立，消并化简整理得．
依题意应有，解得．
设，则，
设圆心，则应有．
由于以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，
又 ．
所以 ，
解得．
所以，所以圆心为．
故所求圆的方程为．
（Ⅱ）由于直线与轴负半轴相交，所以，
又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，
直线：整理得，点到直线的距离 ，
所以． 令，，
，

＋
0
－

极大

由上表可得的最大值为 ．所以当时，的面积取得最大值．
21．已知函数
（Ⅰ）当时，推断函数的单调区间并赐予证明；
（Ⅱ）若有两个极值点，证明：．
解：（Ⅰ）时，易知从而为单调减函数．………………４分
（Ⅱ）有两个极值点，
即有两个实根，所以
，得．
，得．………………6分
又，
所以………………8分
，得
………………10分
，
………………12分

另解：由两个实根，，
当时，所以单调递减且，不能满足条件．
当时，所以单调递减且
当时，所以单调递增且，
故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即
即，，从而可以构造函数解决不等式的证明．
有两个实根，不是根，所以由两个实根，，
当时，所以单调递减且，不能满足条件．
当时，所以单调递减且
当时，所以单调递增且，
故当时，，当时，当时②，所以由两个实根需要．即
即，，从而可以构造函数解决不等式的证明．
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，假如多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
已知外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．

解：(Ⅰ)证明：、、、四点共圆
．………………2分

且,
,……………4分
．………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,
所以与相像,
，…………7分
又,　　，
依据割线定理得，……………9分
．……………10分

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．

解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为
……………………………………………2分
又，[
所以曲线的直角坐标方程为…………4分
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得… ………6分
令，得，即点的坐标为(2，0)．
又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则… ……8分
所以………………………10分

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知，对，恒成立，求的取值范围．

解：∵ a＞0，b＞0 且a+b=1 ∴ +=(a+b)( +)=5++≥9
，故+的最小值为9，……5分
由于对a，b∈(0，+∞)，使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，
所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9，
∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜时，-3x≤9，
∴ -1＜x＜，当 x≥时，x-2≤9， ∴ ≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分