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选修（1-1）第三章 导数及其应用
课题： §3.1 变化率与导数
学习目标：1. 了解函数的平均变化率、瞬时变化率的概念；
2. 理解导数的概念，理解、掌握导数的几何意义
3. 会利用定义求函数在某一点附近的平均变化率及导数；
4. 会利用定义求函数在某点处的切线方程.
学习过程：
一、变化率问题
[开篇思考]：阅读开篇语，了解课程目标
1. 微积分的创立与自然科学中的哪些问题的处理直接相关？

2. 导数的研究对象是什么？

[问题探究一]：气球膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。从数学的角度如何
描述这种现象? 阅读教材P72并思考：
（1）问题中涉及到的两个变量分别是 、 ，这
两个变量间的函数关系是 ；
（2）“气球的半径增加得越来越慢”的意思是“
”，从数学角度进行描述就是“
”，即气球的平均膨胀率就是 .
（3）运用上述数学解释计算一些具体的值
当空气容量从0增加到1时，气球半径增加了 ，气球的平均膨胀率为 ；
当空气容量从1增加到2时，气球半径增加了 ，气球的平均膨胀率为 ；
当空气容量从2增加到2.5时，气球半径增加了 ，
气球的平均膨胀率为 ；
当空气容量从2.5增加到4时，气球半径增加了 ，气球的平均
膨胀率为 ；
可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐 .
（4）思考：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是
[问题探究二]：高台跳水

h
t
o
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？阅读教材P73并思考：
若用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态，
那么：（1）= ；
（2）算一算：
在这段时间内，=
在这段时间内，=
在这段时间内，=
[新知]：

设，是数轴上的一个定点，在数轴上另取一点，与的差记为，即= 或者= ，就表示从到的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为，即= ；如果它们的比值，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率. 平均变化率：_______________ = ______
反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.
[试一试]：
例：已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）， （2）， （3），

[思考]：当越来越小时，函数在区间，上的平均变化率有怎样的变化趋势？
[变式]： 已知函数的图象上一点，及邻近一点，，则=

[学习小结]：
1. 函数的平均变化率是
2. 求函数的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量 ；（2）计算平均变化率 .
[作业]：形成练习P41-42 练习21 函数的平均变化率
[再思考]：计算[问题探究二]中运动员在这段时间里的平均速度，思考以下问题：
（1）运动员在这段时间内使静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
二、导数的概念
[探究]：计算[问题探究二]运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
（1）运动员在这段时间内使静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：

[知识回顾]：什么是函数的平均变化率？如何求平均变化率？

[想一想]：既然用平均速度不能精确描述运动员的运动状态，那该如何求运动员在某一时刻的速度呢？回答下列问题：
1．什么是瞬时速度？

2. 当趋近于时,平均速度有什么样的变化趋势？

3. 运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示？

[认识与理解]：求瞬时速度
一物体的运动方程是，则在时刻的瞬时速度是

[新知]：
1. 函数的瞬时变化率怎样表示？

2. 什么是函数在处的导数？如何表示？其本质是什么？

[试一试]：
例1．（1）用定义求函数在处的导数.

（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

例2．阅读教材P75例1,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

[学习小结]：
1．瞬时速度、瞬时变化率的概念
2．函数在处的导数及其本质
[作业]：形成练习P43-44练习22 导数的概念

三、导数的几何意义（阅读教材P74-75）
[思考与探究一]：曲线的切线及切线的斜率
如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
图3.1-2

当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的 .
[想一想]：
（1）割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？

（2）切线PT的斜率为多少？

（3）此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什么不同？

[新知1]：导数的几何意义：
1. 函数在处的导数等于
即
2. 函数在处的切线方程是 .
3. 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
① 求出点的坐标；
② 求出函数在点处的变化率，
得到曲线在点的切线的斜率；
③ 利用点斜式求切线方程.
[新知2]：导函数：
1. 什么是函数的导函数？

2. 函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系？

[试一试]：
例1:（1）求曲线在点处的切线方程.

例2：在曲线上过哪一点的切线平行于直线？

例3：（1）试描述函数在附近的的变化情况.

（2）已知函数的图象,试画出其导函数图象的大致形状.

[练一练]：
（1）求函数在点处的切线方程.

（2）设曲线在点处的切线斜率是3，则点的坐标是

[学习小结]：
1. 导数的几何意义是什么？
2. 函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系？
3. 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
[作业]：1. 形成练习P44-45 练习23 导数的几何意义； 2. 学探诊 测试十一
[课后思考]：1. 本节知识内容有哪些？你学会了什么？2. 你还有哪些困惑？快快去解决.
课题： §3.2 导数的计算
学习目标：1．会利用导数的定义推导函数、、、的导数公式；
2．掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，会求简单函数的导数.
学习过程：
一、几个常用函数的导数
[开篇语]：
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们先来求几个常用的函数的导数．
[思考与探究]：阅读教材P81-82，利用导数的定义，尝试自己推导函数、、、
的导数
[练一练1] ：利用导数的定义函数的导数

二、基本初等函数的导数公式及导数运算法则
[记一记1]：基本初等函数的导数公式
1. _________
2. ________ （为有理数） _________
3. _________ _________()
4. __________ ________()
5. _________ _________
[练一练2]
例1：求下列函数的导数
（1） （2） （3）

（4） （5）

例2：（1）求在点处的切线方程

（2）求在处的切线方程

（3）求在点处的切线方程

（4）设曲线在点处的切线斜率是3，则点的坐标是

（5）在曲线上过哪一点的切线平行于直线？

（6）求过点所作的的切线方程___________.

[记一记2]：导数运算法则：设函数是可导函数，
1. _________________.
2. _________________. _____________.
3. _________________.
[练一练3]：
练1. 求下列函数的导数：
（1）； （2）；

（3）； （4）.

练2. 求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）

练3.（1）设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值.

（2）（2013年江西）若曲线(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则的值.

[提高篇]
1.（朝阳一模）已知函数，其中，求曲线 在点
处的切线的斜率为1，求的值.（如改为已知切线方程）

2. （2012北京）已知函数，.若曲线与曲线 在它们的交点处具有公共切线，求的值.

[学习小结]：
1．对于简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类
简单函数的导数.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则。求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.
[作业]：1. 形成练习P45-48练习24、常见函数的导数；练习25 导数的四则运算
2. 学探诊 测试十二、十三
[课后思考]：1. 本节知识内容有哪些？你学会了什么？2. 你还有哪些困惑？快快去解决.
课题： §3.3 导数在研究函数中的应用
学习目标：1. 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；
2．理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤；
3. 理解函数的最大值和最小值的概念；掌握用导数求函数最值的方法和步骤.
学习过程：
一、函数的单调性与导数
[知识回顾]
1. 以前，我们用定义来判断函数的单调性.
已知函数，对于任意的两个数（为函数定义域内的某个区间），若当时，有 ，那么函数就是区间上的增函数，是 ；若当时，有 ，那么函数就是区间上的减函数，是 .
2． ； ； ； ；
； ； ； _________
[问题探究一]：函数的导数与函数单调性的关系
1. 阅读教材P89-90后，你有了哪些新的认识？还有哪些疑惑？
2. 自己再探究一下下列问题
问题：我们知道，曲线的切线的斜率就是函数
的导数. 通过函数的图像来观察：在区间（2，）内，图像上每一点处的切线斜率都为 ，也就是 0，此时函数的值随的增大而 .即时，函数在区间（2，）内为 函数；在区间（，2）内，图像上每一点处的切线斜率都为 ，也就是 0，此时函数的值随的增大而 ，即时，函数在区间（，2）内为 函数

切线的斜率

(2，+∞)

(－∞，2)

[新知]：
一般地，设函数在某个区间内有导数，若在这个区间内 ，那么函数在这个区间内单调递增；若在这个区间内 ，那么函在这个区间内单调递减.
［想一想］：判断函数的的单调性，求函数单调区间的步骤应是怎样的？

［试一试］：
例1：判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）； （2）；

（3） （4）

[问题探究二]：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性？

［练一练］：
1. 已知导函数的下列信息，试画出函数图象的大致形状.
当时，；
当，或时，；
当，或时，.
2. 函数的图象如图所示，试画出导函数图象的大致形状.

3. 求证：函数在内是减函数.

［学习小结］：1. 用导数求函数单调区间的步骤；2. 函数图像的增减与导数图像的关系

［知识拓展］：导数绝对值的大小与函数图象变化的关系（阅读教材P93）

［作业］：1.形成性练习P50-51练习26 导数与函数的单调性 2. 学探诊 测试十四

［巩固练习］：

1. 函数的定义域为开区间，导函数在
区间内的图象如图所示，则函数的单调增
区间是___________单调增区间是_

2. 若函数的图象的顶点在第四象限，则其导函数的图象是（ ）

O
1
2
x
y
3. 设是函数的导函数,的图象如右图所示，则
的图象最有可能的是（　　　）
O
1
2
x
y
x
y
y
O
1
2
y
O
1
2
x
O
1
2
x
A
B
C
D

4. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水
面的高度随时间变化的可能图象是（ ）

(A) (B) (C) (D)
5. 若函数的图象如右图，那么导函数的图象可能是( )

6. 设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

A． B． C． D．

7. 已知函数的图象是下列四个图像之一,且其导函数的图象如右图所示,则该函数的图象是（ ）

D
C
B
A

8. 求函数的单调区间.

[提高篇]
1. 函数在上为减函数，求的取值范围

2. 函数在上单调递增，则实数的取值范围.

3. (2008北京) 已知函数是奇函数．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．

4. (2011北京) 已知函数.（Ⅰ）求的单调区间 （高考说明样题）

二、函数的极值与导数
[知识回顾]：
1. 设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内，那么函数为这个区间内的
函数.
2. 用导数求函数单调区间的步骤：
① ②
③ ④
[问题探究]：阅读教材P93-94
1. 如下图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的符号有什么规律？

［新知］：
如上图，我们把点这样的点叫做函数的 点，等叫做函数的 ；点这样的点叫做函数的 点，等叫做函数的 .
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .
［想一想1］：
1. 函数的极值 （填是，不是）唯一的.
2. 一个函数的极大值是否一定大于极小值.
3. 函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.
［想一想2］：
1. 导数为0的点是否一定是极值点.
比如：函数在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点.即：导数为0是点为极值点的 条件.
2.求函数极值的步骤：

［想一想3］：下图是导函数的图象，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.

例1. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
［试一试］：
例2.求函数的极值.

变式1：已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图所示，求 （1）的值 ； （2） a，b，c的值.
x
o
1
2
y

［练一练］：
练1. 判断下列函数有无极值点，如果有请求出极值.
（1）； （2）；

（3）； （4）；

（5）； （6）

练2.（1）已知函数，当时，有极大值.（Ⅰ）求的值；(Ⅱ)求函数的极小值.

（2）已知在与时都取得极值
（Ⅰ）求的值； (Ⅱ)若，求的单调区间和极值.

［提高篇］：
1.(2009北京) 设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与
直线相切，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.

2. (2010北京) 设定函数，且方程的两个根分别为1，4.（Ⅰ）当且曲线过原点时，求的解析式；（Ⅱ）若在无极值点，求的取值范围．

3.（2010海淀末）函数 . （Ⅰ）若在点处的切线斜率为，求实数的值；（Ⅱ）若在处取得极值，求函数的单调区间.

4. 已知函数.（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；（Ⅱ）求
函数的单调区间及极值.

［学习小结］：
1. 求可导函数f(x)的极值的步骤；
2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.
［作业］：1.形成性练习P52-53练习27 导数与函数的极值 2. 学探诊 测试十五
三、函数的最大（小）值与导数
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在点附近找不到比更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果是函数的最大（小）值，那么不小（大）于函数在相应区间上的所有函数值．
[知识回顾]：
1. 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 点，是极 值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的 点，是极
值
[问题探究]：函数的最大（小）值（阅读教材P96-97）
观察以下函数在区间的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？
图2
图1

图1中，在闭区间上的最大值是 ，最小值是 ；
图2中，在闭区间上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 .
［新知］： 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值.
［想一想1］：

上图的极大值点 ，为极小值点为 ；最大值为 ，最小值为 .
［想一想2］：
1. 函数的最值是 得出的；
函数的极值是 得出的．
2. 函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的 条件（选填）
3. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多 个，而函数的极值可能
.
［想一想3］： 2. 求函数极值的步骤

［试一试］：
例1 求函数在[0,3]上的最大值与最小值.

［练一练］：
1．下列说法正确的是（ ）
A. 函数的极大值就是函数的最大值 B. 函数的极小值就是函数的最小值
C. 函数的最值一定是极值 D. 在闭区间上的连续函数一定存在最值
2．函数在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m，若M = m，则（ ）
A. 等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 以上都有可能
3. 求下列函数在指定区间内的最值
① ②

4. 已知函数，，且．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）当时，求函数的最大值；

5. 已知函数在上的最大值为，最小值为，求的值.

［提高篇］：
1.（2012朝阳期末统练18）设函数.（Ⅰ）当时，试求函

数在区间上的最大值； （Ⅱ）当时,试求函数的单调区间.

2. (2011北京)已知函数．（高考说明样题）
（Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求在区间[0,1]上的最小值．

3.（2012北京文）已知函数，.
（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；
（Ⅱ）当时，若函数在区间上的最大值为，求得取值范围.

4.（2010崇文二模文18）已知函数在与处都取得极
值．（Ⅰ）求的值及函数的单调区间；（Ⅱ）若对，不等式
恒成立，求的取值范围.

5. (东城二模)已知函数.(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)如果是曲线上的点，且，若以 为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值.

［学习小结］：
［作业］：1. 形成性练习P54-55 练习28 导数与函数的最值
2. 学探诊 测试十六
［课后思考］：1. 本节知识内容有哪些？你学会了什么？2. 你还有哪些困惑？快快去解决.

导数综合练习
1. 已知函数在处的导数为1，则 .
3

2. 若，则 .
3. 如图，函数的图像在点处的切线方程是，
则 .
4. 垂直于直线并与曲线相切的直线方程是 .
5. 过原点作曲线的切线，则切点的坐标为 ，切线方程为 .
6. 过点与曲线相切的直线方程是 .
7. 直线是曲线的一条切线，则实数的值是 .
8. 函数，则曲线在处的切线方程是 .
9. 函数的单调增区间为 .