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课时提升作业(四十五)
一、选择题
1.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,x,且它的8个顶点都在同一个球面上,这个球面的表面积为125π,则x的值为( )
(A)5 (B)6 (C)8 (D)10
2.(2022·新课标全国卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )
(A)π (B)4π (C)4π (D)6π
3.(2021·西安模拟)已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积
为( )
(A)16π (B)4π (C)8π (D)2π
4.某几何体的三视图如图所示,且主视图、左视图都是矩形,则该几何体的体积是( )
(A)16 (B)12 (C)8 (D)6
5.(2021·六安模拟)如图是一个几何体的三视图,其中主视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积为( )
(A)π (B)π
(C) (D)π
6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
(A)π+ (B)2π+
(C)π+ (D)2π+
7.(力气挑战题)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图和左视图都是腰长为4的等腰直角三角形,主视图为直角梯形,则此几何体的体积V的大小为
( )
(A) (B)12 (C) (D)16
8.(2021·延安模拟)四周体A-BCD中，AB=CD=4，BC=AC=AD=BD=5，则四周体外接球的表面积为( )
(A)33π (B)43π (C)36π (D)18π
二、填空题
9.(2022·江苏高考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为 cm3.
10.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BD=a,则三棱锥D -ABC的体积为 .
11.(2021·南昌模拟)用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则这个几何体的最大体积是 .
12.如图是某几何体的三视图(单位:m),则其表面积为 m2.
三、解答题
13.一个几何体的三视图如图所示,已知主视图是底边长为1的平行四边形,左视图是一个长为,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.
(1)求该几何体的体积V.
(2)求该几何体的表面积S.
14.(2021·榆林模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点.
(1)求证:DE∥平面PBC.
(2)求三棱锥A-PBC的体积.
答案解析
1.【解析】选D.设球的半径为r,则4πr2=125π,
∴r2=.又∵32+42+x2=(2r)2,
∴9+16+x2=125,∴x2=100,即x=10.
2.【解析】选B.
如图,设截面圆的圆心为O′,M为截面圆上任一点,
则OO′=,O′M=1,
∴OM==,即球的半径为,
∴V=π()3=4π.
3.【解析】选B.由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面三角形的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面三角形的外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面三角形的外接圆的半径相等，则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π，选B.
4.【思路点拨】由俯视图可知,该几何体是由四棱柱从中挖掉一个三棱柱所得到的几何体.
【解析】选B.该几何体是一个四棱柱挖去一个三棱柱后得到的几何体,其体积为2×3×4-×2×3×4=12.
【变式备选】一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
(A)πcm3 (B)3πcm3
(C)πcm3 (D)πcm3
【解析】选D.由三视图可知,此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球,所以其体积为V=3π-π=π(cm3).
5.【解析】选A.由三视图可知,该几何体是如图所示的半圆锥,
V=π×12××=π.
6.【解析】选A.由三视图可知几何体是由一个圆柱和一个三棱锥组合而成的,由于圆柱的底面半径和高均为1,所以V圆柱=π×12×1=π.三棱锥的底面是一个直角边长为的等腰直角三角形,三棱锥的高为,所以V三棱锥=××××=.所以该几何体的体积V总=V圆柱+V三棱锥=π+.
7.【思路点拨】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键.留意该几何体是底面为直角梯形且放倒了的四棱锥.
【解析】选C.由三视图知,该几何体是一个四棱锥(如图),其底面是一个直角梯形,高h为4,
∴四边形ABCD的面积S=×(4+1)×4=10,
∴V=Sh=×10×4=.
即该几何体的体积V为.
8.【解析】选A.分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，
DE==，DF=2，EF==，所以GF==，球半径DG===，所以外接球的表面积为4πDG2=4π×=33π，选A.
【变式备选】长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为( )
(A)π (B)56π (C)14π (D)64π
【解析】选C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,同时不妨设得
设球的半径为R,则(2R)2=22+12+32=14,
∴R2=,∴S球=4πR2=14π.
9.【解析】连接AC交BD于O,在长方体中,
∵AB=AD=3,∴BD=3且AC⊥BD.
又∵BB1⊥底面ABCD,∴BB1⊥AC.
又DB∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D1D,
∴AO为四棱锥A -BB1D1D的高且AO=BD=.
∵=BD×BB1=3×2=6,
∴=·AO=×6×=6(cm3).
答案:6
10.【解析】设正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,沿AC折起后依题意得,当BD=a时,BE⊥DE,所以DE⊥平面ABC,于是三棱锥D -ABC的高为DE=a,所以三棱锥D -ABC的体积V=×a2×a=a3.
答案:a3
11.【解析】由主视图和左视图可知,体积最大时,底层有9个小正方体,左上面有2个小正方体,共11个.
答案:11
12. 【解析】依题意可得该几何体是一个组合体,它的上部分与下部分都是四棱锥,中间部分是一个正方体.则上部分的表面积为×4×4×2+×4×4×2=(16+16)m2,中间部分的表面积为4×4×4=64(m2),下部分的表面积为×4×4××4=16(m2),
故所求的表面积为(80+16+16)m2.
答案:(80+16+16)
【变式备选】如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是 .
【解析】由三视图还原可知该几何体是一个组合体,下面是一个圆柱,上面是一个三棱柱,故所求体积为V=×3×4×6+16π×8=36+128π.
答案:36+128π
13.【解析】(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体,如图所示,其底面是边长为1的正方形,高为,
所以V=1×1×=.
(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形,
∴S=2×(1×1+1×+1×2)=6+2.
14.【思路点拨】第(1)问依据已知条件把问题转化为证明线线平行，然后依据线面平行的判定定理得出结论.第(2)问题依据线面垂直的判定定理作出三棱锥的高，然后依据三棱锥的体积公式进行计算.
【解析】(1)取AB的中点F，连接DF，EF.
由于在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，
所以BFCD，
所以四边形BCDF为平行四边形，
所以DF∥BC.
在△PAB中，E，F分别是PA，AB的中点，
所以EF∥PB.
又由于DF∩EF=F，PB∩BC=B，
所以平面DEF∥平面PBC，
由于DE平面DEF，所以DE∥平面PBC.
(2)取AD的中点O，连接PO.
在△PAD中，PA=PD=AD=2，
所以PO⊥AD，PO=.
又由于平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PO⊥平面ABCD.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，
且AB=4，AD=2，AB⊥AD，
所以S△ABC=×AB×AD=×4×2=4，
故VA-PBC=VP-ABC=×S△ABC×PO
=×4×=.
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