广东深圳龙岗区八年级下学期北师版数学期末考试试卷word版本.docx

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2016年广东深圳龙岗区八年级下学期北师版数学期末考试试卷

一、选择题（共12小题；共36分）
1. 不等式 2x-4≤0 的解集在数轴上表示为   
A. B.
C. D.

2. 下列图案中，不是中心对称图形的是   
A. B.
C. D.

3. 下列命题正确的有   
①如果等腰三角形的底角为 15∘，那么腰上的高是腰长的一半；
②三角形至少有一个内角不大于 60∘；
③顺次连接任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形；
④十边形内角和为 1800∘．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

4. 如果 a>b，下列各式中正确的是   
A. a-3>b-3 B. ac>bc C. -2a>-2b D. a2<b2

5. 如图 △ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将 △ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与 △ACPʹ 重合，已知 AP=3，则 PPʹ 的长度是   
A. 3 B. 32 C. 52 D. 4

6. 如图，在等腰直角 △ABC 中，∠C=90∘，AD 是 ∠CAB 的平分线，DE⊥AB，且 DE=2 cm，则 AE 的长是     cm．
A. 22+2 B. 23 C. 4 D. 不确定

7. 已知点 A2-a,a+1 在第一象限，则 a 的取值范围是   
A. a>2 B. -1<a<2 C. a<-1 D. a<1

8. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是   
A. 12a2b=3a⋅4ab B. x+3x-3=x2-9
C. 4x2+8x-1=4xx+2-1 D. x2+3x-4=x-1x+4

9. 若 9x2+2k-3x+16 是完全平方式，则 k 的值为   
A. 15 B. 15 或 -15 C. 39 或 -33 D. 15 或 -9

10. 如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是 -2,0，点 A 是 y 轴正方向上的一点，且 ∠BAO=30∘，现将 △BAO 顺时针绕点 O 旋转 90∘ 至 △DCO，直线 l 是线段 BC 的垂直平分线，点 P 是 l 上一动点，则 PA+PB 的最小值为   
A. 26 B. 4
C. 23+1 D. 23+2

11. 若 a2+2a+b2-6b+10=0，则 ba 的值是   
A. -1 B. 3 C. -3 D. 13

12. 如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的点 Bʹ 处，若矩形的面积为 163，AE=BʹD，∠EFB=60∘，则线段 DE 的长是   

A. 43 B. 5 C. 6 D. 63

二、填空题（共4小题；共12分）
13. 要使分式 x2-1x-1 的值等于零，则 x 的取值是 ．

14. 不等式 3x+1≥5x-3 的正整数解之和是  ．

15. 如图的螺旋形由一系列含 30∘ 的直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤ ⋯，则第 6 个直角三角形的斜边长为 ．

16. 如图，过边长为 2 的等边 △ABC 的边 AB 上点 P 作 PE⊥AC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PA=CQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为 ．
三、解答题（共7小题；17题6分，18题6分，19题6分，20题8分，21题8分，22题9分，23题9分，共52分）
17. 分解因式：
（1）12x2-92；

（2）m-n2-6n-m+9．

18. 解不等式组：4x-1≥x+4 ⋯⋯①x2<2x+13 ⋯⋯②.

19. 先化简 1x-1-1x+1÷x2x2-2，然后从 2，1，-1 中选取一个你认为合适的数作为 x 的值代入求值．

20. 如图 Rt△ACB 中，已知 ∠BAC=30∘，BC=2，分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边 △ACD，等边 △ABE．EF⊥AB，垂足为 F，连接 DF．
（1）求证：四边形 ADFE 是平行四边形；
（2）求四边形 ADFE 的周长．

21. 某市从今年1月1日起调整居民家用水价格，每立方米水费上涨 13，小刚家去年12月份的水费是 15 元，而今年7月份的水费是 30 元，已知小刚家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多 5 m3，求该市今年居民用水价格．

22. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90∘，AB=12，BC=21，AD=16．动点 P 从点 B 出发，沿射线 BC 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q 同时从点 A 出发，在线段 AD 上以每秒 1 个单位长的速度向点 D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 t（秒）．
（1）设 △DPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；
（2）当 t 为何值时，四边形 PCDQ 是平行四边形?
（3）分别求出当 t 为何值时，① PD=PQ，② DQ=PQ．

23. 已知两个等腰 Rt△ABC，Rt△CEF 有公共顶点 C，∠ABC=∠CEF=90∘，连接 AF，M 是 AF 的中点，连接 MB，ME．
（1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图 1，在第（1）问的基础上，若 CB=a，CE=2a，求 BM，ME 的长；
（3）如图 2，当 ∠BCE=45∘ 时，求证：BM=ME．

答案
第一部分
1. B 【解析】2x-4≤0
2x≤4
x≤2．
2. D 3. C 【解析】①如果等腰三角形的底角为 15∘，那么腰上的高是腰长的一半，正确；
证明如下：如图：

∵∠B=∠ACB=15∘，
∴∠CAB=150∘，
∴∠CAD=30∘，CD⊥AB，
∴ 在直角三角形 ACD 中，CD=12AC．
②因为三角形的内角和等于 180∘，所以一个三角形中至少有一个内角不大于 60∘，所以三角形至少有一个内角不大于 60∘，正确；
③顺次连接任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形，正确；
证明如下：如图，连接 AC，

∵E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 边的中点，
∴HG∥AC，HG=12AC，EF∥AC，EF=12AC，
∴EF=HG 且 EF∥HG，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形．
④十边形内角和为 10-2×180∘=1440∘，故错误．
正确有 3 个．
4. A 【解析】A、 a>b 不等式的两边都减去 3 可得 a-3>b-3，故本选项正确；
B 、 a>b 不等式两边都乘以 c，c 的正负情况不确定，所以 ac>bc 不一定成立，故本选项错误；
C、 a>b 不等式的两边都乘以 -2 可得 -2a<-2b，故本选项错误；
D、 a>b 不等式两边都除以 2 可得 a2>b2，故本选项错误．
5. B
【解析】∵ △ACPʹ 是由 △ABP 绕点 A 逆时针旋转后得到的，
∴ △ACPʹ≌△ABP，
∴ AP=APʹ，∠BAP=∠CAPʹ．
∵ ∠BAC=90∘，
∴ ∠PAPʹ=90∘，
故可得出 △APPʹ 是等腰直角三角形，
又 ∵ AP=3，
∴ PPʹ=32．
6. A 【解析】∵ 在等腰直角 △ABC 中，∠C=90∘，AD 是 ∠CAB 的平分线，DE⊥AB，
∴ DE=CD=2 cm，
∴ BE=DE=2 cm，
∴ DB=22 cm，
∴ BC=AC=AE=22+2 cm．
7. B 【解析】∵ 点 A2-a,a+1 在第一象限．
∴2-a>0,a+1>0.
解得：-1<a<2．
8. D 9. D 【解析】∵9x2+2k-3x+16 是完全平方式，
∴k-3=±12，
解得：k=15 或 k=-9．
10. A
【解析】因为点 B 的坐标是 -2,0，
所以 OB=2，
因为 ∠BAO=30∘，
所以 OA=23，
因为现将 △BAO 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 至 △DCO，
所以 OC=OA=23，
因为直线 l 是线段 BC 的垂直平分线，
所以点 B，C 关于直线 l 对称，
连接 AC 交直线 l 于 P，
则此时 AC 的长度 =PA+PB 的最小值，
因为 AC=OA2+OC2=26，
所以 PA+PB 的最小值为 26．

11. D 【解析】∵ a2+2a+b2-6b+10=0，
∴ a+12+b-32=0，
∴ a=-1，b=3，
∴ ba=3-1=13．
12. C 【解析】在矩形 ABCD 中，
∵ AD∥BC，
∴ ∠DEF=∠EFB=60∘，
∵ 把矩形 ABCD 沿 EF 翻折点 B 恰好落在 AD 边的 Bʹ 处，
∴ ∠EFB=∠EFBʹ=60∘，∠B=∠AʹBʹF=90∘，∠A=∠Aʹ=90∘，AE=AʹE，AB=AʹBʹ，
在 △EFBʹ 中，
∵ ∠DEF=∠EFB=∠EBʹF=60∘
∴ △EFBʹ 是等边三角形，
Rt△AʹEBʹ 中，
∵ ∠AʹBʹE=90∘-60∘=30∘，
∴ BʹE=2AʹE，
∵ 矩形的面积为 163，AE=BʹD，
设 AE=x，则 AʹBʹ=3AʹE=3AE=3x．
EBʹ=2x，
AEʹ=AE=BʹD=x，
AB=AʹBʹ=3x，
∴ 3x⋅x+2x+x=163，
得 x=2，即 AE=2．
∴ AB=23，
∵ AD=AE+DE=8，AE=2，
∴ DE=6．

第二部分
13. -1
【解析】由题意得：x2-1=0，且 x-1≠0，
解得：x=-1．
14. 6
【解析】去括号，得：3x+3≥5x-3，
移项，得：3x-5x≥-3-3，
合并同类项，得：-2x≥-6，
系数化为 1，得：x≤3，
∴ 该不等式的正整数解之和为 1+2+3=6．
15. 9316
【解析】第①个直角三角形中，30∘ 角所对的直角边为 1，
则斜边长为 2，另一直角边为 3，
第②个直角三角形中，斜边为 3，
则 30∘ 对应直角边为 32，
另一直角边为 32-322=32，
第③个直角三角形中，斜边为 32，
则 30∘ 对应直角边为 34，
另一直角边为 334，
第④个直角三角形的斜边为 334，
第⑤个直角三角形的斜边长为 98，
第⑥个直角三角形的斜边长为 9316．
16. 1
【解析】过点 P 作 BC 的平行线交 AC 于点 F，

∴ ∠Q=∠FPD，
∵ 等边 △ABC，
∴ ∠APF=∠B=60∘，∠AFP=∠ACB=60∘，
∴ △APF 是等边三角形，
∴ AP=PF，
∵ AP=CQ，
∴ PF=CQ，
∵ 在 △PFD 和 △QCD 中，
∠FPD=∠Q,∠PDF=∠QDC,PF=CQ,
∴ △PFD≌△QCDAAS，
∴ FD=CD，
∵ PE⊥AC 于 E，△APF 是等边三角形，
∴ AE=EF，
∴ AE+DC=EF+FD，
∴ ED=12AC，
∵ AC=2，
∴ DE=1．

第三部分
17. （1） 原式=12x2-9=12x+3x-3.
      （2） 原式=m-n2+6m-n+9=m-n+32.
18. 由 ① 得，
x≥83,
由②得，
x>-2,
故不等式组的解集为：
-2<x≤83.

19. 原式 =1x-1x+1⋅2x-1x+1x=4x．
当 x=2 时，原式 =42=22．
20. （1） ∵ Rt△ABC 中，∠BAC=30∘，
∴ AB=2BC，
又 ∵ △ABE 是等边三角形，EF⊥AB，
∴ AB=2AF．
∴ AF=BC．
在 Rt△AFE 和 Rt△BCA 中，
AF=BC,AE=AB.
∴ △AFE≌△BCAHL，
∴ AC=EF；
∵ △ACD 是等边三角形，
∴ ∠DAC=60∘，AC=AD，
∴ ∠DAB=∠DAC+∠BAC=90∘，
又 ∵ EF⊥AB，
∴ EF∥AD，
∵ AC=EF，AC=AD，
∴ EF=AD，
∴ 四边形 ADFE 是平行四边形；
      （2） ∵ ∠BAC=30∘，BC=2，∠ACB=90∘，
∴ AB=AE=4．
∵ AF=BF=12AB=2．
则 EF=AD=23．
故四边形 ADFE 的周长为：4+23×2=43+8．
21. 设去年居民用水价格为 x 元/立方米，则今年水费为 1+13x 元/立方米，
根据题意可列方程为：
30x1+13-15x=5
所以
304x3-15x=5,
所以
452x-15x=5,
方程两边同时乘以 2x，得：
45-30=10x,
解得：
x=1.5
经检验 x=1.5 是原方程的解．
则 1+13x=2．
答：该市今年居民用水价格为 2 元 /立方米．
22. （1） 直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90∘，BC=21，AB=12，AD=16，
依题意 AQ=t，BP=2t，则 DQ=16-t，PC=21-2t，
过点 P 作 PE⊥AD 于点 E，
则四边形 ABPE 是矩形，PE=AB=12，
∴ S△DPQ=12DQ⋅AB=1216-t×12=-6t+96．
      （2） 当四边形 PCDQ 是平行四边形时，PC=DQ，
∴ 21-2t=16-t 解得：t=5，
∴ 当 t=5 时，四边形 PCDQ 时平行四边形．
      （3） ∵ AE=BP=2t，PE=AB=12，
①当 PD=PQ 时，QE=ED=12QD，
∵ DE=16-2t，
∴ AE=BP=AQ+QE，即 2t=t+16-2t
解得：t=163，
∴ 当 t=163 时，PD=PQ
②当 DQ=PQ 时，DQ2=PQ2
∴ t2+122=16-t2 解得：t=72
∴ 当 t=72 时，DQ=PQ．

23. （1） 证法一：如答图 1a，延长 AB 交 CF 于点 D，

则易知 △ABC 与 △BCD 均为等腰直角三角形，
∴ AB=BC=BD，
∴ 点 B 为线段 AD 的中点，
又 ∵ 点 M 为线段 AF 的中点，
∴ BM 为 △ADF 的中位线，
∴ BM∥CF．
【解析】证法二：如答图 1b，延长 BM 交 EF 于点 D，

∵ ∠ABC=∠CEF=90∘，
∴ AB⊥CE，EF⊥CE，
∴ AB∥EF，
∴ ∠BAM=∠DFM，
∵ M 是 AF 的中点，
∴ AM=MF，
在 △ABM 和 △FDM 中，
∠BAM=∠DFM,AM=FM,∠AMB=∠FMD,
∴ △ABM≌△FDMASA，
∴ AB=DF，BM=DM，
∵ BE=CE-BC，DE=EF-DF，
∴ BE=DE，
∴ △BDE 是等腰直角三角形，
∴ ∠EBM=45∘，
∵ 在等腰直角三角形 △CEF 中，∠ECF=45∘，
∴ ∠EBM=∠ECF，
∴ MB∥CF．
      （2） 解法一：如答图 2a 所示，延长 AB 交 CF 于点 D，

则易知 △BCD 与 △ABC 为等腰直角三角形，
∴ AB=BC=BD=a，AC=CD=2a，
∴ 点 B 为 AD 中点，又点 M 为 AF 中点，
∴ BM=12DF．
分别延长 FE 与 CA 交于点 G，
则易知 △CEF 和 △CEG 均为等腰直角三角形，
∴ CE=EF=GE=2a，CG=CF=22a，
∴ 点 E 为 FG 中点，又点 M 为 AF 中点，
∴ ME=12AG，
∵ CG=CF=22a，CA=CD=2a，
∴ AG=DF=2a，
∴ BM=ME=12×2a=22a．
【解析】解法二：如答图 2b 所示，

∵ CB=a，CE=2a，
∴ BE=CE-CB=2a-a=a，
∵ △ABM≌△FDM，
∴ BM=DM，
∴ EM⊥BD，
又 ∵ △BED 是等腰直角三角形，
∴ △BEM 是等腰直角三角形，
∴ BM=ME=22BE=22a．
      （3） 证法一：如答图 3a，延长 AB 交 CE 于点 D，连接 DF，

则易知 △ABC 与 △BCD 均为等腰直角三角形，
∴ AB=BC=BD，AC=CD，
∴ 点 B 为 AD 中点，
又点 M 为 AF 中点，
∴ BM=12DF．
延长 FE 与 CB 交于点 G，连接 AG，
则易知 △CEF 与 △CEG 均为等腰直角三角形，
∴ CE=EF=EG，CF=CG，
∴ 点 E 为 FG 中点，
又点 M 为 AF 中点，
∴ ME=12AG．
在 △ACG 与 △DCF 中，
AC=CD,∠ACG=∠DCF=45∘,CG=CF,
∴ △ACG≌△DCFSAS，
∴ DF=AG，
∴ BM=ME．
【解析】证法二：如答图 3b，延长 BM 交 CF 于点 D，连接 BE，DE，

∵ ∠BCE=45∘，
∴ ∠ACD=45∘×2+45∘=135∘，
∴ ∠BAC+∠ACF=45∘+135∘=180∘，
∴ AB∥CF，
∴ ∠BAM=∠DFM，
∵ M 是 AF 的中点，
∴ AM=FM，
在 △ABM 和 △FDM 中，
∠BAM=∠DFM,AM=FM,∠AMB=∠FMD,
∴ △ABM≌△FDMASA，
∴ AB=DF，BM=DM，
∴ AB=BC=DF，
在 △BCE 和 △DFE 中，
BC=DF,∠BCE=∠DFE=45∘,CE=FE,
∴ △BCE≌△DFESAS，
∴ BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴ ∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90∘，
∴ △BDE 是等腰直角三角形，
又 ∵ BM=DM，
∴ BM=ME=12BD，
故 BM=ME．

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