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2022—2021年度第一学期高三期末检测
数学（理）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，集合，则( )
A． B． C． D．
2、若函数，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3、将函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到解析式为（ ）
A． B． C． D．
4、如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是（ ）
A．等腰三角形 B．对边三角形
C．直角三角形 D．无两边相等的三角形
5、已知的重心为，角所对的边分别为
若，则（ ）
A． B． C． D．
6、某次数学摸底考试共有10道选择题，每道题四个选项中有且只有一个选项是正确的；张三同学没道题都随机地从中选出一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P，则下列数据中与P的值最接近的是（ ）
A． B． C． D．
7、在的开放式中，项的系数是项系数和项系数的等比中项，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8、已知函数（其中且），若，则在同一坐标系内的大致图象是（ ）
9、已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线所得的线段长为4，则抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
10、定义在R上的函数满足，当时，，若时，有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.
11、抛物线在处的切线与抛物线以及轴围成的曲边图形的面积为
12、已知函数的最大值为3，的图象与轴交点坐标为，其相邻的两条对称轴的距离为2，则
13、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为
14、已知过点且斜率为的直线与圆相交于两点，
则的值为
15、给出下列结论：
①函数在区间上有且只有一个零点；
②已知是直线，是两个不同的平面，若，则；
③已知表示两条不同直线，表示平面，若，则；
④在中，已知，在求边的长时有两解。
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，求的最大值，并求此时对应的的值。
17、（本小题满分12分）
2021年元旦联欢晚会某班师生一块做玩耍，数学老师制作了六张卡片放在盒子里，卡片上分别写着六个函数：
（1）现任取两张卡片，记大事A为“所得两个函数的奇偶性相同”，求大事A的概率；
（2）从盒子中不放回逐一抽取卡片，若取到的一张卡片上的函数的奇函数则停止抽取，否则连续进行，记停止时抽取次数为，写出的分布列，并求其数学期望。
18、（本小题满分12分）
如图所示，四边形是边长为2的正方形，平面，与平面所成的角的正切值为。
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小。
19、（本小题满分12分）
已知数列中，（常数），是其前n项和，且
（1）试确定数列是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；
（2）令，证明：。
20、（本小题满分13分）
设
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）当时，求实数的取值范围，使得对任意恒成立。
21、（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率，点A为椭圆上一点，，且。
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，问：在轴上是否存在定点M，使得以为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
高三期末理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题
D B C A D B A B C B
二、填空题
11. 12.4030 13.5 14. 15.①④
三、解答题
16. 解：（1）
……………………3分
周期，
由于，所以， …………5分
当，
即时函数单调递减；
所以的单调递减区间为
. …………7分
（2）当，， …………9分
，当时取最大值，
故当时，函数的最大值为1. …………12分
17. 解：（1）由题意可知，是奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数， ……………2分
所以； ……………4分
（2）由题意可知，的全部可能取值为， ……………5分
， ，，，………9分
所以的分布列为：
1
2
3
4
P
所以. ………12分
18. 解：（1）设AC，BD交于O，取EB中点G，连结FG，GO，
在中，，
即四边形FAOG是平行四边形. ………2分
又平面EFB，平面EFB，
所以直线AC//平面EFB. ………4分
（2）由于平面，所以与平面所成角就是，
又与平面所成角的正切值为，所以，而，所以. ………………6分
分别以DA，DC，DE所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则有,,,
,设为平面AEB的一个法向量，则，即，
不妨设，可得平面AEB的一个法向量 ………9分
设平面FBE的一个法向量，
则，
令，可得平面的一个法向量 ………11分
设二面角F-BE-A的大小为，，
所以二面角F-BE-A的大小为. ………12分
19. 解：（1）令可得，即，所以，… 1分
，
可得，当成立， ………………………3分
当时，
两边相乘可得，
所以， ………………………5分
明显当时，满足上式，所以数列是等差数列，其通项公式为. ………………………6分
（2）由（1）可知，从而可得， ………………………7分
， ………………………9分
由于均大于0，所以， ………10分
而是关于的增函数，所以，所以，
故. ………………………12分
20. 解：（1）， ……………………………………1分
由导数的几何意义可知，，
所以切线方程为：，即
. ………………………………………………3分
（2），（其中），………4分
当时，在上，此时在单调递增，
当时，在上，此时在单调递减，
在上，此时在单调递增；……………7分
综上所述：当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. ………………8分
（3）当时，，不等式为，即，只需小于（）的最小值即可，………10分
由（2）可知，在单调递减，在单调递增，所以当时，， ………12分
故，可得，
所以的取值范围为. ………13分
21. 解：（1）由可得，， ①
可得，，…2分
在中由余弦定理有，，又，可得②，…………………………4分
联立①②得，
所以椭圆方程为. …………………………6分
（2）设点，由，得， …………………………8分，化简得，所以， ………………………10分
所以.
由，得，假设存在点，坐标为，则，， …………………12分
由于以为直径的圆恒过点，所以，即，所以有对任意的都成立，
则，解得，故存在定点符合题意. …14分
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