惠州市届模拟考试数学(理科)试题-(3)教学文稿.doc

惠州市2017届高三模拟考试
2017.04
数 学(理科)
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号等考生信息填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
（1）已知集合，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）若复数（为虚数单位），则=（ ）
（A）3 （B）2 （C） （D）
（3）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，
那么输入的为（ ）
（A） （B）或 （C） （D）
（4）已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上一点满足轴．若，则该双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　)
（A）y＝1－x2 　　（B）y＝log2|x| （C）y＝－　 （D）y＝x3－1
（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）的展开式中的系数为（ ）
（A）25 （B）5 （C）15 （D）20
（8）设，变量x，y满足条件，则z的最小值为（　　）
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16
（9）已知的最小正周期是，将图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则（ ）
（A）在区间上单调递减 （B）在区间上单调递增
（C）在区间上单调递减 （D）在区间上单调递增
（10）已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），
若，则直线的斜率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（11）三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，直线与平面所成角的正切值取最大值时的值为（  ）
（A）       （B）    （C）    （D）
（12）设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）在边长为1的正三角形中，设，则 ．
（14）已知，则 ．
（15）我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”是面积。意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ___________．
（16）已知中，,，若线段的延长线上存在点，使，则____________．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知等差数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
（18）（本小题满分12分）
某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示.
（Ⅰ）求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；
（Ⅱ）在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．
（19）（本小题满分12分）
E
D
C
B
A
P
如图所示，四棱锥的底面是梯形，且，面，是中点，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，
求直线与平面所成角的大小．

（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的一个焦点为，其左顶点在圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴的交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

（21）（本小题满分12分）
已知函数在处的切线方程为
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若为整数，当时，恒成立，求的最大值（其中为的导函数）．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
（22）（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，
试求当时，的值.

（23）（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）若，恒有成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，使得成立，求实数的取值范围.
数学试题（理科） 第 7 页，共 6 页

惠州市2017届高三模拟考试
数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
B
A
B
C
C
B
D
A
D
1．【解析】 ,,故选C．
2．【解析】，所以=2 ,故选B．
3．【解析】程序框图表示，所以，解得：，，解集为空，所以，故选D.
4【解析】，故．
5【解析】函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项A符合要求，故应选A.
6．【解析】画出满足条件的四棱锥，底面是边长为3的正方形，顶点在底面的射影为点B，高为4，根据垂直关系可得，，为直角三角形和和的公共斜边，所以取中点，为四棱锥外接圆的圆心，，，那么四棱锥外接球的表面积为，故选B.
7．【解析】，含有项的构成为，故选C．
8．【解析】作出不等式组对应的平面区域，由解得，设，由图可知，直线经过点A时，m取最小值，同时取得最小值，所以. 故选C．
9．【解析】, 平移得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴ ，，故选B．
10．【解析】设，则，又，，选D．
11．【解析】过作，则，故当最小时最大。此时
12．【解析】，在上取点，在上取点，要，需，，，，，故选D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
13．【解析】因为，所以为的中点即，∵，
∴，∴．
14．【解析】因为，所以，所以，所以＝＝
15．【解析】类比祖暅原理，可得两个图形的面积相等，梯形面积为，
所以图1的面积为.
16．【解析】因为线段的延长线上存在点，使，，
所以，即，所以，
所以，
中，根据正弦定理.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）设等差数列的公差为，由已知得 ……2分
即所以解得 ……4分
所以． ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，①
，② ……8分
得： ……10分
所以． ……12分
18．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）由题意，可知，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∴甲学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
而乙学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∴甲、乙两校的合格率均为96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）样本中甲校等级的学生人数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
而乙校等级的学生人数为4．
∴随机抽取3人中，甲校学生人数的可能取值为0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分
∴
∴的分布列为

0
1
2
3

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．
因为，所以． 1分
因为平面，平面，所以．
又因为，所以平面． 3分
因为点是中点，所以，且． 4分
又因为，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以平面． 6分
（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结，则，
因为平面，平面，
所以，所以． 7分
因为，由（Ⅰ）知，
又因为，所以，
所以
所以为正三角形，所以，
因为平面，平面，
所以．
又因为，所以平面． 8分
故两两垂直，可以点O为原点，分别以的方向为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示．
，，，
所以，，， 9分
设平面的法向量，
则 所以
取，则， 10分
设与平面所成的角为，
则， 11分
因为，所以，
所以与平面所成角的大小为． 12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵椭圆的左顶点在圆上，∴
又∵椭圆的一个焦点为，∴ ∴
∴椭圆的方程为　 ………………４分
（Ⅱ）设，则直线与椭圆方程联立
化简并整理得，
∴， ………………５分
由题设知 ∴直线的方程为
令得
∴点　　 ………………７分

　………………９分

（当且仅当即时等号成立）
∴的面积存在最大值，最大值为1.　　　 ………………12分

21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），由已知得，故，解得
又，得，解得 ………………2分
，所以
当时，；当时，
所以的单调区间递增区间为 ，递减区间为 …………4分
（Ⅱ）法一.由已知，及整理得
，当时恒成立
令， ………………………………6分
当时， ；由（Ⅰ）知在上为增函数，
又 ……………………………………8分
所以存在 使得，此时
当时， ；当时，
所以 …………………10分
故整数的最大值为. ………………12分
法二.由已知，及整理得，
令 ，
得， ………………………6分
当时，因为，所以，在上为减函数，
………………………8分
，为增函数。
为减函数。
由已知 ……………………10分
令，，在上为增函数.
又，故整数的最大值为 ……………12分
22．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）曲线：，可以化为，
，[来源:学&科&网]
因此，曲线的直角坐标方程为………………４分
它表示以为圆心、为半径的圆．　 ………………５分
（Ⅱ）法一：当时，直线的参数方程为(为参数)
点在直线上，且在圆内，把
代入中得 ………………6分
设两个实数根为，则两点所对应的参数为，
则， ………………8分
　 ………………10分
法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为
即圆心的坐标为半径为，点在直线上，且在圆内
………………6分
圆心到直线的距离 ………………8分
所以弦的长满足
………………10分

23．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由知，
欲使，恒有成立，则需满足……………4分
所以实数的取值范围为　　 ………………５分
（Ⅱ）由题意得 ……………6分
使得成立
即有 ……………8分
又可等价转化为或或
所以实数的取值范围为　　 ……………10分

数学试题（理科） 第 17 页，共 17 页