江西省新余市2021届高三第二次模拟考试-数学理-Word版含答案.docx

新余市2021年高三“二模”统一考试
数学试题卷（理科）
命题人：敖礼生 陈福星 肖连奇 审校人：刘勇刚
本试卷分为试题卷和答题卷两部分，解答写在答题卷相应的位置．
全卷共１５０分，考试时间为１２０分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.
1．设集合, 集合 , 则为
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B. C. D.

4．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法．若输入，则输
出的值为
A.10 B.11 C.12 D.13

5.设变量满足，若直线经过该可行域，则的最大值为
A.1 B.3 C.4 D.5
6.已知函数，若,则的一个单调递增区间
可以是

7.已知半圆的直径 ，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是
Ａ．- Ｂ. Ｃ． Ｄ.
8.已知正项，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点等于
A． B．
C． D．
9．已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且,若球的体积为,则这个直三棱柱的体积等于
A. B. C.2 D.
10．已知函数，且，则函数的一个零
点是
A． B． C． D．
11．椭圆的两个焦点分别是.若上的点满足,则椭圆的离心率e的取值范围是
A. B. C. D.
12．定义在实数集上的函数的图像是连续不断的，若对任意实数，存在实常数使得恒成立，则称是一个“关于函数”．有下列“关于函数”的结论：
①是常数函数中唯一一个“关于函数”；
②“关于函数”至少有一个零点；
③就一个“关于函数”.
其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．0

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．开放式中项的系数490,则实数的值为 .
14.函数且，则函数的全部零点之和为 .
15.若在区间[1,2] 上存在实数使成立,则的取值范围是 .
16.给出下列四个命题：
①中，是成立的充要条件；
②当时，有；
③已知是等差数列的前n项和，若，则；
④若函数为上的奇函数，则函数的图象确定关于点成中心对称．
其中全部正确命题的序号为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
已知数列满足：，（）.
（1）若，试证明数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式及其项和Sn．

18.如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=，∠EAC=，AB=AC=AE.
（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP//平面EAB？请证明你的结论；
（2）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角的余弦值.

19.设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，； 当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，.
（1）求概率P（）；
（2）求的分布列，并求其数学期望E（）.

20.已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于C、D（异于A，B）两点．
(1)求椭圆标准方程；
(2)求四边形的面积的最大值；
(3)若是椭圆上的两动点，且满，动点满足（其中O为坐标原点），是否存在两定点使得为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．
x
y
O
A
B
D
C

21．已知函数f(x)＝ex－e-x－2x.
(1)争辩f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；
(3)已知1.414 2<<1.414 3，估量ln2的近似值(精确到0.001)．

请考生从第22、23、24题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分，作答时
请写清题号.

22.（本小题10分）选修4—1:几何证明选讲
如图,是☉外一点,是切线,为切点,割线与☉相交于点,,又=2,为的中点,的延长线交☉于点.
证明:(1)=；
(2)·=2.

23.（本小题10分）选修4-4:参数方程选讲
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的一般方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.

24.（本小题10分）选修4-5:不等式选讲
设函数的最大值为M．
（1）求实数M的值；
（2）求关于的不等式的解集．
新余市2021年高三“二模”考试质量检测
数学 参考答案（理科）
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
A
B
A
D
D
D
B
A
C
A

二填空题
13. 14. 8 15.(－∞，－) 16.（1）（3）

17．解：(1)，
，即，
,是以2为首项，2为公比的等比数列. ……………………4分
（2）由(1)知 …………………5分
∴

…………………………………7分
令，
则，
两式相减得：，
…………………………………11分
∴…………………………………………12分

18．（一）解：（1）线段BC的中点就是满足条件的点P。…………………1分
证明如下：
取AB的中点F连接DP，PF，EF，则FP//AC,FP=AC.
取AC的中点M，连接EM，EC。
AE=AC且∠EAC=，
△EAC是正三角形。
EM⊥AC。四边形EMCD为矩形。
ED=MC=AC=FP。又ED//AC。
ED//FP且ED=FP，即四边形EFPD是平行四边形。
DP//EF。
而EF平面EAB,DP平面EAB，DP//平面EAB。…………………5分
（2）过点B作AC的平行线，过点C作的垂线交点G，连接DG。
ED//AC，ED//。
是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱。
平面EACD⊥平面ABC,DC⊥AC，DC⊥ABC。
又平面ABC,DC⊥.
⊥平面DGC.⊥DG.
∠DGC是所求二面角的平面角的余角。
设AB=AC=AE=，则CD=
GD=
cos=cos∠DGC=
即平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角的余弦值为 ...........12分
（二）解：设AB=a，取AC中点O，BC中点F，连EO、OF。

又∠EAC=

又面ABC⊥面ACDE
即EO⊥面ACDE
建立以OF、OC、OE为空间坐标系的轴。
………………2分

①假设存在点P，且
又面EAB的法向量
令
即

即P为BC的中点…………………………………………………5分
②设面EBD的法向量为，面ACDE的法向量为………7分
………………………………………………………9分
……………………………………………………………12分

19．解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8C对相交棱。
P（）=…………………………………4分
（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，P，

随机变量的分布列是：

0
1

P

……………………10分
其数学期望。…………………………12分

20．解：(1)由题设知：由于抛物线的焦点为，
所以椭圆中的，又由椭圆的长轴为4，得，
椭圆的标准方程为： …………4分
(2) 法始终线斜率不为零，，代入椭圆方程得：

则有： …………5分

（当且仅当，即时等号成立）
四边形的面积的最大值为4 …………8分

法二：当直线斜率不存在时 ，的方程为：，此时…………5分
当直线斜率存在时，设的方程为： (其中) 即代入椭圆方程得：，
…………5分

综上所述：四边形的面积的最大值为4 …………8分
(3)由，可得…①
又由于 ……②

由①②可得：
……11分
由椭圆的定义存在两定点使得 ………12分

21.解　(1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，等号仅当x＝0时成立．
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．…………………………………1分
(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x，[来源:Z_xx_k.Com]
g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．
①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.
而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0；……………………………3分
②当b>2时，若x满足2<ex＋e－x<2b－2，即0<x<ln(b－1＋)时g′(x)<0.
而g(0)＝0，因此当0<x≤ln(b－1＋)时，g(x)<0…………………6分
综上，b的最大值为2……………………………7分
(3)由(2)知，g(ln)＝－2b＋2(2b－1)ln2.
当b＝2时，g(ln)＝－4＋6ln2>0，ln2>>0.692 8；………………8分
当b＝＋1时，ln(b－1＋)＝ln，
g(ln)＝－－2＋(3＋2)ln2<0，
ln2<<0.693 4…………………………………………11分
所以ln2的近似值为0.693………………………………12分
22解:(1)连结,,由题设知=,故∠=∠.
由于∠=∠+∠
∠=∠+∠
∠=∠,
所以∠=∠,从而. 因此=……………………………5分
(2)由切割线定理得=·. 由于==,所以=,=,
由相交弦定理得
所以…………………………10分

解23.（1）由曲线。得
        两式两边平方相加得：
        即曲线的一般方程为：
由曲线：得：
       即，所以
       即曲线的直角坐标方程为: ……………………………5分
(2) 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为

所以当时，的最小值为，此时点的坐标为………10分

24.解：（1）
=3，
当且仅当x=4时等号成立.
故函数的最大值M=3…………………………………5分
（2）由确定值三角不等式可得.
所以不等式的解x就是方程的解.
由确定值的几何意义得，当且仅当时，.
所以不等式的解集为……………………10分

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