江苏省盐城中学2021届高三上学期12月月考试题-数学-Word版含答案.docx

高三班级阶段性随堂练习
数学试题（2022.12）
审题人：朱启东 命题人：钱俊 朱丽丽
一、 填空题：
1.已知集合，，则 .
2.命题,命题, 是 条件．
（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）
3.函数的最小正周期为 ．
4.已知函数的单调递增区间为 ．
5.直线在两坐标轴上的截距之和为2，则实数的值是 .
6.若Sn为等差数列{an}的前n项和，S13=－104，则a7的值为 ．
7.已知实数满足线性约束条件则目标函数的最大值是 ．
8.曲线C：在点M（1，e）处的切线方程为 ．F
A
D
E
C
B

9.如图，已知正方形的边长为3，为的中点，与交于点，则 ．
10.已知为正实数，且则的最小值为 ．
11.已知函数,，的值域为 ．
12.若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为____．
13.设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一的零点，则实数的取值范围是 .
14.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的全部非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为 ．
二、解答题：
15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、．已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，求△ABC的面积S．

16.平面直角坐标系中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相切，求直线的方程．

17.如图，ABCD是边长为10海里的正方形海疆.现有一架飞机在该海疆失事，两艘海事搜救船在处同时动身，沿直线、向前联合搜寻，且（其中点、分别在边、上），搜寻区域为平面四边形围成的海平面.设，搜寻区域的面积为.
B
D
C
A
Q
P

（1）试建立与的关系式，并指出的取值范围；
（2）求的最大值.

18.如图，在直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线方程是,左、右顶点分别为A、B．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点M满足MB⊥AB，直线AM交椭圆于点P，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，设以线段MP为直径的圆与直线BP交于点Q，试问：直线MQ是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
C
B
y
O
x
A
F2
F1
D
P
M

19.设各项均为非负数的数列的前项和为，（，）．
（1）求实数的值；
（2）求数列的通项公式（用表示）；
（3）证明：当时，．

20.已知函数，，．
（1）求函数的单调区间；
（2）记函数，当时，在上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；
（3）记函数，证明：存在，此时有一条过原点的直线与的图象有两个切点．

高三数学随堂练习答案（2022.10.25）
二、 填空题：
1．已知集合，，则 .
解析：，.
2. 函数的最小正周期为 ．
解析：，所以最小正周期.
3．命题,命题, 是 条件．
（填“充分不必要”， “必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中的一个）
解析：充分不必要
4．已知函数的单调递增区间为 ．解析：
5. 直线在两坐标轴上的截距之和为2，则实数的值是_____.
6．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5a7的值为 ．32
7.若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为________．
8. 如图，已知正方形的边长为3，为的中点，与交于点，则________．

9. 已知函数f(x)＝ , x∈[,]，求f(x)的值域 ．
10.已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线的斜率分别为，若椭圆的离心率为，则的最小值为 ．1

11. 设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一的零点，则实数的取值范围是 .
解析：为偶函数，，结合图形可知.
12. 已知为正实数，且则的最小值为 2 ．
13．已知圆C：，点P在直线l：上，若圆C上存在两点A、B使得，则点P的横坐标的取值范围是 ．O
P
C
A
B

14.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的全部非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为 ．
解析:45
解：由题意有，对于和，我们首先把中的元素按从小到大挨次排列，当时，，对于中的任一元素，比它大的有个，这个元素组成的集合的全部子集有个，把加进这些子集形成新的集合，每个都是以为最小元素的的子集，而最小元素为的的子集也只有这些，故在中毁灭次，所以
，时，适合上式，时，．当，不成立，当时，，，由于，，，所以，最小的为．
二、解答题：
15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、.已知向量，，且．
（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积S．

16.已知圆C经过P（4，– 2），Q（– 1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5．
（1）求圆C的方程．
（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，，求直线l的方程．
解：(1) PQ为 2分
C在PQ的中垂线即y = x – 1上 3分
设C（n，n – 1），则 4分
由题意，有 5分
∴ ∴ n = 1或5，r 2 = 13或37（舍） 7分
∴圆C为 8分
解法二：
设所求圆的方程为
由已知得解得
当时，；当时，（舍）
∴ 所求圆的方程为
(2) 设l为 9分
由，得 10分
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 11分
∵ ， ∴ 12分
∴
∴ ∴ m = 3或 – 4（均满足）
∴ l为 14分
A
B
C
D
P
O
17.某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4千米，BC = 6千米，CD = 2千米，
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；
（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．
解：(1) ，由余弦定理得：

∴ ………………………………2分
∵ ∴ ，
S四边形ABCD =（平方千米）……5分
∴
由正弦定理得：（千米） （千米）
………………………………8分
(2) S四边形APCD = ，又…………9分
设AP = x，CP = y，则…………………10分
由余弦定理得：

∴ ，当且仅当x = y时取“＝”………………………………12分
∴S四边形APCD =（平方千米）
∴ 作AC的垂直平分线与圆弧ABC的交点即为点P，最大面积为平方千米 ……14分
18.如图，在直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别为A，B．
C
B
y
O
x
A
F2
F1
D
P
M
(1)若椭圆的右准线方程是x＝4，求a，b的值；
(2)若动点M满足MB⊥AB，直线AM交椭圆于点P，求证：·为定值；
(3)在(2)的条件下，设以线段MP为直径的圆与直线BP交于点Q，试问：直
线MQ是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
解：

19. 在数列中,, 且对任意的,成等比数列, 其公比为.
（1） 若, 求；
（2） 若对任意的,成等差数列, 其公差为, 设.
① 求证:成等差数列, 并指出其公差；
② 若, 试求数列的前项和.
（1）由于,所以,故是首项为1,公比为4的等比数列,
所以…………………………………………………… 4分
（注: 讲评时可说明, 此时数列也是等比数列, 且公比为2）
（2）①由于成等差数列,所以,
而,所以,则………………………… 7分
得,所以,即,
所以是等差数列,且公差为1………………………………………………………………………9分
②由于,所以,则由,解得或………………10分
（ⅰ）当时, ,所以,则,即,得,所以
,则……12分
所以,则,故……………14分
（ⅱ）当时, ,所以,则,即,
得,所以,
则,所以,从而.
综上所述,或…………………………………………………………………16分
20.已知函数，，．
⑴求函数的单调区间；
⑵记函数，当时，在上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；
⑶记函数，证明：存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．

（1）由于，
①若，则，在上为增函数，…………………………2分
②若，令，得，
当时，；当时，．
所以为单调减区间，为单调增区间．
综上可得，当时，为单调增区间，
当时，为单调减区间， 为单调增区间． ……………4分
（2）时，，
， ……………………………………………………5分
在上有且只有一个极值点，即在上有且只有一个根且不为重根，
由得， ………………………………………………………6分
（i），，满足题意；…………………………………………………………7分
（ii）时，，即；………………………………………8分
（iii）时，，得，故；
综上得：在上有且只有一个极值点时，． ……………………………9分
注：本题也可分别变量求得．
（3）证明：由（1）可知：
（i）若，则，在上为单调增函数，
所以直线与 的图象不行能有两个切点，不合题意．……………………10分
（ⅱ）若，在处取得极值．
若，时，由图象知不行能有两个切点．…………………………11分
故，设图象与轴的两个交点的横坐标为（不妨设），
则直线与的图象有两个切点即为直线与和的切点．
，，
设切点分别为，则，且
，，，
即， ①
， ②
，③
①-②得：，
由③中的代入上式可得：，
即， ……………………………………………………………14分
令，则，令，由于，，
故存在，使得，
即存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．……………………16分