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雅安中学2022—2021学年高二班级下期月考（4月）
数学试题（理工农医类）
（命题人：陆俊霞 审题人：鲜继裕 ）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卷和机读卡一并回收。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、单项选择题：（本题共10道小题，每小题5分，共50分）.
1.复数的虚部为（ ）
A． B．-1 C． D．1
2.已知（ ）
A．-5 B．-15 C．-3 D．-1
3. 已知向量则确定是共线的三点是（ ）
A .BCD B .ABC C.ABD D.ACD
4.如图，平行六面体中，与的交点为.设，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知平面,的法向量分别是，，若，则的值（ ）
A. 8 B．6 C．-10 D．-6
6.已知函数的值为（ ）
A．10 B． C． D．20
7. 曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )
A.1 B.2 C.-2 D.-1
9.已知，是的导函数，即，，…，，，则 ( )
A． B． C． D．
10.已知函数对定义域内的任意都有=,且当时其导函数满足若则（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）.
11.已知复数 .
12．已知为空间的一个基底，且，， ,能否以作为空间的一个基底 （填“能”或“不能”）.
13.已知函数的定义域为，部分对应值如下表, 的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题：
－1
0
4
5
1
2
2
1
①函数的极大值点为，；
②函数在上是减函数；
③假如当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．
14.已知在区间（-1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是 ．
15.已知函数,,若方程有三个根，求满足条件的实数k的取值是 ．
三、 解答题（本题共6道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题13分,第6题14分,共75分）
16. （本小题满分12分）设复数，满足，且复数在复平面上对应的点在其次、四象限的角平分线上.
（Ⅰ）求复数； （Ⅱ）若为纯虚数, 求实数m的值.
17. （本小题满分12分）用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，假如所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．
18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，平面，，，．以，为邻边作平行四边形，连接和．
（Ⅰ）求证：∥平面 ；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
19. （本小题满分12分）已知函数，（为常数），直线与函数、的图象都相切，且与函数图象的切点的横坐标为．
（Ⅰ）求直线的方程及的值；
（Ⅱ）若 [注：是的导函数]，求函数的单调递增区间；
21.(本小题满分14分)已知函数(为自然对数的底数，为常数）．对于函数，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线．
（Ⅰ）若，求的极值；
（Ⅱ）争辩函数的单调性；
（Ⅲ）设，摸索究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.
雅安中学2022—2021学年高二班级下期月考（4月）
数学试题（理科）参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、 单项选择题：（本题共10道小题，每小题5分，共50分）.
1. D 2.B 3.C 4.C 5.D
6. C 7.A 8.B 9.A 10.B
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、 填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）.
11. 1 12. 不能 13. ①②④
14. 15. 1
三、解答题（本题共6道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题13分,第6题14分,共75分）
16. 解：（Ⅰ）由得： ① ……………………………2分
又复数＝在复平面上对应的点在其次、四象限的角平分线上，
则即 ② …………………………………4分
由①②联立的方程组得或…………………………5分
∵∴………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（1）得……………………………………………………………8分
=……………………………………10分
∵为纯虚数,
∴…………………………………………………………………………………12分
17.解：设容器底面宽为xm，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.
由解得0<x<1.6，…………………………………………………………3分
设容器的容积为ym3，则有
y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x（0<x<1.6）………………………………6分
y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，……………………………………………………………………7分
令y′＝0，即－6x2＋4.4x＋1.6＝0，
解得x＝1，或x＝－(舍去)．…………………………………………………………8分
∵0<x<1时，y′>0；1<x<1.6时，y′<0.
∴在定义域(0,1.6)内x＝1是唯一的极值点，且是极大值点，
∴当x＝1时，y取得最大值为1.8. ……………………………………………………10分
此时容器的高为3.2－2＝1.2m. …………………………………………………………11分
答：容器高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m3. ………………………………12分
18.（Ⅰ）连结如下图，……………………………………………………………………1分
是三棱柱
且，
又四边形是平行四边形
且
且
∴四边形为平行四边形，……………………………………………………………………3分
……………………………………………………………………………………………4分
又∵平，平面
∴平面 …………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由，四边形为平行四边形得，底面
如图，以为原点建立空间直角坐标系，……………………………………………7分
则，，， ，
，，…………………………………………………8分
设平面的法向量为，则
即，令，则，
………………………………………………………………………………………10分
………………………………………………………………11分
∴直线与平面所成角的正弦值为. …………………………………………………12分
19.解：（I）由题意得：与函数y=图象的切点为（1，
∵切点（1，在图象上
∴切点为（1，0）………………………………………………………………………………1分
又∵
∴直线的斜率为：……………………………………………………………………3分
∴直线的x-y-1=0…………………………………………………………………………………4分
∵直线与函数y=的图象相切
∴方程组只有一个解，即方程
∴△=0，解得………………………………………………………………………………6分
(II)由（I）得 ∴
∴……………………9分
又∵
令
∴函数的单调递增区间为…………………………………………………………12分
21.（Ⅰ）若，则，，………………………1分
由得 又得； 得，
在单调递增，在单调递减；
在处取得极大值,无微小值．……………………………………………… 3分
（Ⅱ），…………………………………………………………………… 4分
①当时，由得
由得
函数在区间上是增函数，在区间上是减函数……………………6分
②当时，对恒成立，
此时函数是区间上的增函数；……………………………………………………………………7分
③当时，由得
由得
函数在区间上是增函数，在区间上是减函数．…………9分
（Ⅲ）若存在，则恒成立，
令，则，所以，………………………………………………………………11分
因此：对恒成立，即对恒成立，
由得到， ………………………………………………………………………………12分
现在只要推断是否恒成立，
设，则，
①当时，
②当时， ……………………………………………………13分
所以，即恒成立，
所以函数与函数存在“分界线”，且方程为………………14分
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