高中自主招生考试数学试卷.doc

高中自主招生考试数学试卷
亲爱的同学：
欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话：
1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分，考试时间为70分钟。
2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。
3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。
一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）
A
B
C
D

1．计算的结果是（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为实数，且，设，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( )
A．20分钟 Ｂ．22分钟
Ｃ．24分钟 D．26分钟
5.二次函数的图象如何移动就得到的图象（ ）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。
B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。
D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。
6．下列名人中：①比尔盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ）
A．①④⑦ B．②④⑧ C．②⑥⑧ D．②⑤⑥
7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：
欲购买的
商品
原价（元）
优惠方式

一件衣服
420
每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券
一双鞋
280
每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券
一套化妆品
300
付款时可以使用购物券，但不返购物券

请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案. 此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ）
A． 500元 B． 600元 C． 700元 D． 800元
8．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（ ）

二、填空题：（每题6分，共30分）
9. 若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数 _____.
10．三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为_____________cm2.
11．对正实数作定义，若，则的值是________．
12．已知方程在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则的取值范围是 ．
13．如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是 ．

三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤。
14．（本小题满分8分）【田忌赛马】
田忌上马 齐王中马
田忌中马 齐王下马
田忌下马 齐王上马

田忌上马 齐王上马
田忌中马 齐王中马
田忌下马 齐王下马

图1
图2
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马； 田忌的下马不敌齐王的下马. 田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛.假如在不知道齐王出马顺序的情况下：
（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；
（2）田忌能赢得比赛的概率是___________.

15．（本题满分10分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：、，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素。如果一个集合满足：当实数是集合的元素时，实数也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合。
(1)请你判断集合，是不是好的集合？
(2)请你写出满足条件的两个好的集合的例子。

16．（本小题满分10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，
求证：∠ACB+∠AEB十∠AFB=1800。

17．（本小题满分10分）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的相切；
（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：．

四、附加题：（本题满分为3分，但即使记入总分也不能使本次考试超出100分）
18．有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了。根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法。

学校_____________ 准考证号___________ 姓名__________
——————————————密————————————封————————————线——————————————————

自主招生考试
数学答题卷
（满分100分，时间70分钟）
一、选择题：（每题4分，共32分）
题
号
1
2
3
4
5
6
7
8
答
案

二、填空题：（每题6分，共30分）
9、 10、

11、 12、

13、
三、三、解答题：（本题有4个小题，共38分） 解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤。
171414、(本小题满分8分)

解

(17、15、（本小题满分10分）
解：

16、（本小题满分10分）

17、（本小题满分10分）

附加题：(可以在反面作答)
18、

学校_____________ 准考证号___________ 姓名__________
——————————————密————————————封————————————线——————————————————

自主招生考试
数学参考答案
一、选择题：（每题4分，共32分）
题
号
1
2
3
4
5
6
7
8
答
案
B
A
B
C
C
D
B
B
二、填空题：（每题6分，共30分）
9、 1 10、 14

11、 36 12、 或

13、 3
三、三、解答题：（本题有4个小题，共38分） 解答应写出文字说明, 证明过程或推演步 步骤。171414、(本小题满分8分)
解：（1）其他可能的对阵形式有：
田忌上马 齐王上马 齐王中马 齐王下马 齐王下马
田忌中马 对 齐王下马 齐王上马 齐王上马 齐王中马
田忌下马 齐王中马 齐王下马 齐王中马 齐王上马
（每写出一个得1分）
（2）根据对对阵形式的分析可以知道：天忌赢得比赛的概率为（得4分）
解(115、（本小题满分10分）
解： 解：（1）集合不是好的集合，是好的集合。（每个判断正确得2分）
（2）集合、、、等都可以举。（每举出一个得3分）
16、（本小题满分10分）
证明： ，且为三等分点，为中点
，即
（得4分）

（得3分）
即
所以得证 （得3分）
17、（本小题满分10分）
解：（1）设点P的坐标为，则
PM＝;
又因为点P到直线的距离为，

所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线相切． （得4分）
（2）如图，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．
因为PH，MN，QR都垂直于直线，所以，PH∥MN∥QR，于是
，
所以 ，
因此，Rt△∽Rt△．
于是，从而 （得6分）
附加题：(可以在反面作答)
18、可以从数学的基础性，应用的广泛性，培养严密的逻辑思维能力，人文素养，科学精神等各方面价值作简单说明。