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课时提升作业(七)
一、选择题
1.函数y=(a>1)的图象的大致外形是 ( )
2.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=()x在x∈[0,4]上解的个数是 ( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3.(2021·潮州模拟)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是( )
4.函数y=(的值域为 ( )
(A)[,+∞) (B)(-∞,]
(C)(0,] (D)(0,2]
5.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)= ( )
(A)5 (B)7 (C)9 (D)11
6.若函数f(x)=(a+)cosx是奇函数,则常数a的值等于 ( )
(A)-1 (B)1 (C)- (D)
7.(2021·汕头模拟)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,必成立的是( )
(A)a<0,b<0,c<0 (B)a<0,b≥0,c>0
(C)2-a<2c (D)2a+2c<2
8.(力气挑战题)设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有 ( )
(A)f()<f()<f()
(B)f()<f()<f()
(C)f()<f()<f()
(D)f()<f()<f()
9.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是 ( )
(A)(-∞,2] (B)[2,+∞)
(C)[-2,+∞) (D)(-∞,-2]
10.(力气挑战题)已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是 ( )
(A)a>1 (B)0<a<1 (C)a>2 (D)a<0
二、填空题
11.(2021·衡水模拟)若x>0,则(2+)(2-)-4(x-)= .
12.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x)>0的解集为 .
13.(2021·杭州模拟)已知0≤x≤2,则y=-3·2x+5的最大值为 .
14.(力气挑战题)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f()+f(1)+f()+f(2)+f()
= .
三、解答题
15.已知函数f(x)=(.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.
(2)若f(x)有最大值3,求a的值.
16.(2021·广州模拟)已知函数f(x)=2x-.
(1)若f(x)=2,求x的值.
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
答案解析
1.【解析】选B.y==故选B.
2.【解析】选D.由f(x-1)=f(x+1)把x-1换为x,
则f(x)=f(x+2)可知T=2.
∵x∈[0,1]时,f(x)=x.
又∵f(x)为偶函数,∴可得图象如图:
∴f(x)=()x在x∈[0,4]上解的个数是4.
3.【解析】选B.|f(x)|=|2x-2|=
易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),又|f(x)|≥0,故选B.
【误区警示】本题易误选A或D,毁灭错误的缘由是误以为y=|f(x)|是偶函数.
4.【解析】选A.∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,
又y=()t在R上为减函数,
∴y=(≥()1=,即值域为[,+∞).
5.【解析】选B.∵f(a)=2a+2-a=3,∴22a+2-2a+2=9,
∴22a+2-2a=7,即f(2a)=7.
6.【解析】选D.设g(x)=a+,t(x)=cosx,
∵t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+)cosx为奇函数,∴g(x)=a+为奇函数,
又∵g(-x)=a+=a+,
∴a+=-(a+)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=.
7.【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图,由图知,若a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则a<0,c>0,b可大于0,也可小于0.又f(a)>f(c)得|2a-1|>|2c-1|,即1-2a>2c-1,因此2a+2c<2.
8.【思路点拨】依据f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(x)=f(2-x),由此可把f(),f()转化为[1,+∞)上的函数值.
【解析】选B.由已知条件可得f(x)=f(2-x).
∴f()=f(),f()=f().
又f(x)=3x-1在[1,+∞)上递增,
∴f()>f()>f().
即f()>f()>f().
【方法技巧】比较具有对称性、奇偶性、周期性函数的函数值大小的方法
(1)单调性法:先利用相关性质,将待比较函数值调整到同一单调区间内,然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小.
(2)图象法:先利用相关性质作出函数的图象,再结合图象比较大小.
9.【解析】选B.由f(1)=得a2=,
∴a=或a=-(舍),
即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.
10.【解析】选A.方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点,由函数图象可知a>1.
11.【解析】原式=4-33-4+4=-23.
答案:-23
12.【解析】当x≥0时,由f(x)>0知2x-4>0,∴x>2.又函数f(x)是偶函数,所以当x<-2时f(x)>0,综上知f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
13.【解析】令t=2x,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4.
又y=22x-1-3·2x+5,
∴y=t2-3t+5=(t-3)2+.
∵1≤t≤4,∴t=1时,ymax=.
答案:
14.【思路点拨】依据条件先探究函数的奇偶性、周期性,再将所求函数值转化为已知函数值求解.
【解析】依题意知:函数f(x)为奇函数且周期为2,
∴f()+f(1)+f()+f(2)+f()
=f()+f(1)+f(-)+f(0)+f()
=f()+f(1)-f()+f(0)+f()
=f()+f(1)+f(0)
=-1+21-1+20-1
=.
答案:
15.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=(,
令t=-x2-4x+3,
则其在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,
而y=()t在R上单调递减,
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,
即函数f(x)的递增区间是[-2,+∞),递减区间是(-∞,-2).
(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=()h(x),
由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,
因此必有解得a=1.
即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.
16.【解析】(1)当x<0时,f(x)=0;
当x≥0时,f(x)=2x-.
由条件可知2x-=2,即22x-2·2x-1=0,
解得2x=1±.
∵2x>0,∴x=log2(1+).
(2)当t∈[1,2]时,2t(22t-)+m(2t-)≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1).
∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).
∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5],
故m的取值范围是[-5,+∞).
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