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课时提升作业(三十三)
一、选择题
1.已知数列{an},若点(n,an)(n∈N*)在经过点(5,3)的定直线l上,则数列{an}的前9项和S9= ( )
(A)9 (B)10 (C)18 (D)27
2.数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S10等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.在等差数列{an}中,a9=a12+6,则数列{an}的前11项和S11等于 ( )
(A)24 (B)48 (C)66 (D)132
4.(2021·东莞模拟)已知数列{an}的通项公式是an=(-1)n(n+1),则a1+a2+a3+…+a10= ( )
(A)-55 (B)-5 (C)5 (D)55
5.(2021·太原模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则= ( )
(A) (B) (C) (D)
6.数列{an}的前n项和Sn=3n+b(b是常数),若这个数列是等比数列,那么b为
( )
(A)3 (B)0 (C)-1 (D)1
7.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-=0,S2m-1=38,则m= ( )
(A)38 (B)20 (C)10 (D)9
8.(力气挑战题)数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则+++…+等于 ( )
(A)(2n-1)2 (B)(2n-1)2
(C)4n-1 (D)(4n-1)
二、填空题
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3=20-a6,则S8等于 .
10.(2021·佛山模拟)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则S100= .
11.(2021·湛江模拟)在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,若ak=a1+a2+a3+…+a7,则k= .
12.(2021·哈尔滨模拟)在数列{an}中,若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值(n∈N*),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前100项的和S100= .
三、解答题
13.等差数列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设数列{bn}满足bn=,其前n项和为Tn,求证:Tn<(n∈N*).
14.(2021·湖州模拟)设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.
(1)求{an},{bn}的通项公式.
(2)求数列{}的前n项和Sn.
15.(力气挑战题)已知数列{an}的首项为a1=1,其前n项和为Sn,且对任意正整数n有n,an,Sn成等差数列.
(1)求证:数列{Sn+n+2}成等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
答案解析
1.【思路点拨】(n,an)在直线上说明数列{an}为等差数列.
【解析】选D.点(n,an)(n∈N*)在经过点(5,3)的定直线l上,a5=3,依据等差数列性质得:S9=9a5=27.
2.【解析】选D.an==(-),
所以S10=a1+a2+…+a10
=(1-+-+…+-)
=(1+--)=,故选D.
3.【解析】选D.设公差为d,则a1+8d=a1+d+6,即a1+5d=12,即a6=12,所以S11=11a6=132.
4.【解析】选C.由an=(-1)n(n+1),得a1+a2+a3+…+a10=-2+3-4+5-6+…-10+11=5×1=5,故选C.
5.【解析】选C.等差数列{an}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d,由于a1,a3,a9恰好构成某等比数列,所以有=a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,所以该等差数列的通项为an=nd.则的值为.
6.【思路点拨】依据数列的前n项和减去前n-1项的和得到数列的第n项的通项公式,即可得到此等比数列的首项与公比,依据首项和公比,利用等比数列的前n项和公式表示出前n项的和,与已知的Sn=3n+b对比后,即可得到b的值.
【解析】选C.由于an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2),所以此数列是首项为2,公比为3的等比数列,
则Sn==3n-1,
所以b=-1.
7.【解析】选C.由于{an}是等差数列,所以am-1+am+1=2am,由am-1+am+1-=0,得2am-=0,所以am=2(am=0舍),又S2m-1=38,即=38,即(2m-1)×2=38,解得m=10,故选C.
8.【解析】选D.an=Sn-Sn-1=2n-1(n>1),又a1=S1=1=20,适合上式,∴an=2n-1(n∈N*),
∴{}是=1,q=22的等比数列,由求和公式得+++…+==(4n-1).
9.【解析】由于a3=20-a6,
所以S8=4(a3+a6)=4×20=80.
答案:80
10.【解析】∵a2n+1-a2n-1=0,a2n+2-a2n=2,
∴数列{an}的奇数项为常数列,偶数项是公差为2的等差数列,
∴S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)
=(1+1+…+1)+(2+4+…+100)=50+50×51
=2600.
答案:2600
11.【解析】ak=a1+a2+a3+…+a7=7a1+d=21d=a22,
∴k=22.
答案:22
12.【解析】设定值为M,则an+an+1+an+2=M,进而an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得an+3=an,即数列{an}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{an}的前100项的和S100=68+99+132=299.
答案:299
13.【解析】(1)2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11,
2a3=a2+a6-4,
即2(a1+2d)=a1+d+a1+5d-4,得d=2,
则a1=1,故an=2n-1.
(2)由(1)得Sn=n2,∴bn==
==
=(-),
Tn=(-+-+-+…+-+-)
=(+--)<(n∈N*).
【方法技巧】裂项相消法的应用技巧
裂项相消法的基本思想是把数列的通项an分拆成an=bn+1-bn或者an=bn-bn+1或者an=bn+2-bn等,从而达到在求和时逐项相消的目的,在解题中要擅长依据这个基本思想变换数列an的通项公式,使之符合裂项相消的条件.在裂项时确定要留意把数列的通项分拆成的两项确定是某个数列中的相邻的两项或者是等距离间隔的两项,只有这样才能实现逐项相消后剩下几项,达到求和的目的.
14.【解析】(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则依题意有q>0且
解得
所以an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1.
(2)=,
Sn=1+++…++, ①
2Sn=2+3++…++. ②
②-①,得Sn=2+2+++…+-
=2+2×(1+++…+)-,
=2+2×-=6-.
【变式备选】(2022·石家庄模拟)已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60,且a6为a1和a21的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=3,求数列{}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
则
解得∴an=2n+3.
(2)由bn+1-bn=an,
∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*),
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=an-1+an-2+…+a1+b1=n(n+2),
当n=1时,b1=3也适合上式,
∴bn=n(n+2)(n∈N*).
∴==(-),
Tn=(1-+-+…+-)
=(--)=.
15.【解析】(1)由于n,an,Sn成等差数列,所以2an=Sn+n,由当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
所以2(Sn-Sn-1)=Sn+n,
即Sn=2Sn-1+n(n≥2),
所以Sn+n+2=2Sn-1+2n+2
=2[Sn-1+(n-1)+2].
又S1+1+2=4≠0,
所以=2,
所以数列{Sn+n+2}成等比数列.
(2)由(1)知{Sn+n+2}是以S1+3=a1+3=4为首项,2为公比的等比数列,所以Sn+n+2=4×2n-1=2n+1,又2an=n+Sn,所以2an+2=2n+1,所以an=2n-1.
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