广东省湛江一中2021-2022学年高二上学期期中考试文科数学试题-Word版含答案.docx

湛江一中2021—2022学年度第一学期第一次考试
高二级 文科数学 试卷
考试时间：120分钟 满分：150分 命题老师：张颖
一、选择题。（共12题，每道题5分，12*5=60）
1．若集合A，，则（ ）
A． B． C． D．
2．数列的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
3. 已知△ABC中,a=4,b=4,A=30°,则角B的度数等于(　　)
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
4．不等式组表示的平面区域是（ ）

5．已知, 则下列不等式确定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（ ）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
7．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cos B＝，b＝2，
sin C＝2sin A，则△ABC的面积为(　　)
A. B. C. D.
8．已知点（3，1）和（- 4，6）在直线的两侧，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知数列为等比数列，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．某人要制作一个三角形，要求它的三边的长度分别为3,4,6，则此人（    ）
A．不能作出这样的三角形
B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形
D．能作出一个钝角三角形
11.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,…),当首项a1和公差d变化时,若a5+a8+a11是一个定值,则下列各数中为定值的是(　　)
A.S17 B.S18 C.S15 D.S16
12．若数列的通项公式分别是，，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题。（共4题，每道题5分,4*5=20）
13．若a＞b＞0,则比较，的大小是__________________________．

14．，则的外形是____________________．

15．若变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为________．

16．已知函数的图象如图，则满足的的取值范围 ．

三、解答题。（共6题，共70分）
17. (本小题满分10分)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn,S5=S6且a3=-6.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若等比数列{bn}满足b2=6,6b1+b3=-5a3,求{bn}的前n项和Tn.

18．(本小题满分12分)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cos A的值；(2)求c的值．

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2－bx＋1.
(1)求实数a，b使不等式f(x)<0的解集是{x|3<x<4}；
(2)若a为整数，b＝a＋2，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，求a的值．

20．(本小题满分12分)数列{an}满足a1＝1，＝＋1，n∈N*.
(1) 求数列的通项公式；
(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.

21．(本小题满分12分)如图，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛动身，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处.然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛.
东
北
A
B
C

（1）求A、C两岛之间的直线距离； （2）求∠BAC的正弦值.
22、(本小题满分12分)数列首项，前项和与之间满足
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设存在正数，使对于一切都成立，求的最大值．

湛江一中2021—2022学年度第一学期第一次考试
高二级 文科数学 答案
一、选择题（满分60）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
D
C
C
A
B
C
C
D
C
C
二、填空题（满分20）
13． ＞ 14．等腰三角形
15． 3 16．
三、解答题（满分70）
17.（10分）(1)由已知可得a6=0，∴……….3分
解得d=2，a1=-10, ……….4分
∴an=2n-12. ……….5分
(2)设{bn}的公比为q,又-5a3=30,
由题设得解得或……….8分
当b1=3，q=2时,Tn=3(2n-1), ………9分
当b1=2,q=3时,Tn=3n-1. ……….10分

18．(12分)
(1)由正弦定理得：
＝，……….3分
解得cos A＝.……….4分

(2)由cos A＝⇒sin A＝，……….5分
又∠B＝2∠A，∴cos B＝2cos2A－1＝.∴sin B＝，……….8分
sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.….10分
∴c＝＝5. ……….12分（用余弦定理的请酌情给分）

19．(12分)　(1)∵不等式ax2－bx＋1<0的解集是{x|3<x<4}，
∴方程ax2－bx＋1＝0的两根是3和4，……….2分
∴解得a＝，b＝.……….6分
(2)∵b＝a＋2，∴f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1. ……….7分
∵Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
∴函数f(x)＝ax2－bx＋1必有两个零点．……….8分
又函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，
∴f(－2)·f(－1)<0，∴(6a＋5)(2a＋3)<0，……….10分
解得－<a<－.∵a∈Z，∴a＝－1. ……….12分

20．(本小题12分)
(1)解：由已知可得－＝1，……….2分
所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．得＝1＋(n－1)·1＝n，
所以an＝n2，………4分
(2)由(1)得an＝n2，从而bn＝n·3n……….5分
Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n①
3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1②
①－②得：－2Sn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1
＝－n·3n＋1＝……….10分
所以Sn＝……….12分

21、（12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°………………………2分
据余弦定理，得，
所以AC＝70. ………………5分
故A、C两岛之间的直线距离是70海里.…………6分
（Ⅱ）在△ABC中，据正弦定理，得，………………8分
所以.……………11分
故∠BAC的正弦值是.…………………12分

22、（本小题12分）
（1）由于时，…………1分
得 …………2分
由题意
又 是以为首项，为公差的等差数列．……4分
（2）由（1）有 ……5分
时，．………6分
又 …………7分
（3）设…………8分
则………9分
在上递增 故使恒成立只需
又 又 ，所以，的最大值是
．…………12分