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第三章综合素能检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是( )
A．(1，－4) B．(4，－1)
C．1，－4 D．4，－1
[答案] D
[解析] 由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.
2．(2021·河北孟村回民中学月考试题)若函数f(x)在[a，b]上连续，且同时满足f(a)·f(b)＜0，f(a)·f()＞0.则( )
A．f(x)在[a，]上有零点
B．f(x)在[，b]上有零点
C．f(x)在[a，]上无零点
D．f(x)在[，b]上无零点
[答案] B
[解析] 由已知，易得f(b)·f()＜0，因此f(x)在[，b]上确定有零点，但在其他区间上可能有零点，也可能没有零点．
3．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，1]
[答案] C
[解析] ∵f(x)在其定义域(0，＋∞)上是单调递增函数，而在四个选项中，只有f()·f()＜0，∴函数f(x)的零点所在区间为[，]，故选C.
4．(2010·浙江)已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
[答案] B
[解析] 由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且f(x1)＜0，f(x2)＞0，故选B.
5．某工厂2010年生产某种产品2万件，方案从2011年开头每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开头超过12万件？( )
A．2021年 B．2022年
C．2022年 D．2021年
[答案] B
[解析] 设经过x年这种产品的年产量开头超过12万件，则2(1＋20%)x＞12，即1.2x＞6，∴x＞≈9.8，取x＝10，故选B.
6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
由此可以推断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，
∴f(－3)·f(－1)＜0.
∵f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，
∴f(2)·f(4)＜0.∴方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)．
7．用二分法求方程f(x)＝0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝，f(2)＝－5，f()＝9，则下列结论正确的是( )
A．x0∈(1，) B．x0＝－
C．x0∈(，2) D．x0＝1
[答案] C
[解析] 由于f(2)·f()＜0，则x0∈(，2)．
8．某争辩小组在一项试验中获得一组关系y、t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系( )
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
[答案] D
[解析] 由点(2,1)，(4,2)，(8,4)，故选D.
9．设a，b，k是实数，二次函数f(x)＝x2＋ax＋b满足：f(k－1)与f(k)异号，f(k＋1)与f(k)异号．在以下关于f(x)的零点的说法中，正确的是( )
A．该二次函数的零点都小于k
B．该二次函数的零点都大于k
C．该二次函数的两个零点之间差确定大于2
D．该二次函数的零点均在区间(k－1，k＋1)内
[答案] D
[解析] 由题意得f(k－1)·f(k)＜0，f(k)·f(k＋1)＜0，由零点的存在性定理可知，在区间(k－1，k)，(k，k＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故D正确．
10．(2021·山东梁山一中期中试题)若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点四周函数值用二分法逐次计算列表如下
x
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
f(x)
－1
0.875
－0.2969
0.2246
－0.05151
那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度为0,1)为( )
A．1.2 B．1.3125
C．1.4375 D．1.25
[答案] B
[解析] 由于f(1.375)＞0，f(1.3125)＜0，且
1．375－1.3125＜0.1，故选B.
11．(2021·河北广平县高一期中试题)“龟兔赛跑”讲过了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，傲慢起来，睡了一觉，当它醒来时，发觉乌龟快到终点了，于是赶忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路线，t为时间，则图中与故事情节相吻合的是( )
[答案] D
12．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
[答案] B
[解析] 由于f(－1)＝－1＝－＜0，f(0)＝1＞0，
所以f(x)的零点a∈(－1,0)；
由于g(2)＝0，所以g(x)的零点b＝2；
由于h()＝－1＋＝－＜0，h(1)＝1＞0，
所以h(x)的零点c∈(，1)．
因此a＜c＜b.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则实数m的取值是________．
[答案] 0或
[解析] 若m≠0，则Δ＝4－12m＝0，m＝，又m＝0也符合要求，∴m＝0或.
14．(2021·全国高考湖南卷文科，14题)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
[答案] (0,2)
[解析] |2x－2|－b＝0，即|2x－2|＝b，由函数y＝|2x－2|于y＝b图象得，0<b<2.
15．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．
①有三个实根；
②x＞1时恰有一实根；
③当0＜x＜1时恰有一实根；
④当－1＜x＜0时恰有一实根；
⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．
[答案] ①⑤
[解析] f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，)和(，1)内，故只有①⑤正确．
16．某工程由A、B、C、D四道工序完成，完成它们需用的时间依次2、5、x、4天，四道工序的先后挨次及相互关系是：A、B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B、C完成后，D可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序C需要的天数x最大为________．
[答案] 3
[解析] 如图，
设工程所用总天数为f(x)，则由题意得：
当x≤3时，f(x)＝5＋4＝9，
当x>3时，f(x)＝2＋x＋4＝6＋x，
∴f(x)＝，
∵工程所用总天数f(x)＝9，
∴x≤3，∴x最大值为3.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝ex－m－x，其中x∈R，当m＞1时，推断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．
[解析] ∵f(x)＝ex－m－x，∴f(0)＝e－m－0＝e－m＞0，
f(m)＝e0－m＝1－m.
又∵m＞1，∴f(m)＜0，∴f(0)·f(m)＜0.
∵函数f(x)的图象在区间[0，m]上是一条连续曲线，
∴函数f(x)＝ex－m－x(m＞1)在区间(0，m)内存在零点．
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2；
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
[解析] (1)由于f(x)的两个零点分别是－3,2，所以
即解得
故f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)知f(x)＝－3x2－3x＋18，其图象的对称轴为x＝－，开口向下，所以f(x)在[0,1]上为减函数，则f(x)的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12.
所以值域为[12,18]．
19．(本小题满分12分)用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度0.1)．
[解析] 由于f(1)＝1－1－1＝－1＜0，f(1.5)＝1.53－1.5－1＝0.875＞0，所以f(x)在区间(1,1.5)内存在零点，取区间(1,1.5)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：
区间中点
中点函数值的符号
取区间
[1,1.5]
x0＝1.25
f(x0)＜0
(1.25,1.5)
x1＝1.375
f(x1)＞0
(1.25,1.375)
x2＝1.3125
f(x2)＜0
(1.3125,1.375)
由于|1.375－1.3125|＜0.0625，所以原函数精确度0.1的零点近似值可取为1.375.
20．(本小题满分12分)某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售状况进行了跟踪调查，调查结果如图，图①中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图③中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．
(1)分别写出国内市场的日销售量f(t)、国外市场的日销售量g(t)与第一批产品A的上市时间t的关系式；
(2)第一批产品A上市后，求日销售利润Q(t)的解析式．
[解析] (1)当0≤t≤30时，设f(t)＝kt，
由60＝30k，解得k＝2，则f(t)＝2t.
当30＜t≤40时，设f(t)＝at＋b，
由解得
则f(t)＝－6t＋240.
所以，国内市场的日销售量为
f(t)＝
设g(t)＝at(t－40)，由60＝20a(20－40)，
解得a＝－.
所以，国外市场的日销售量g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．
(2)设每件产品A的销售利润为q(t)，由题图易得
q(t)＝
从而这家公司的日销售利润Q(t)的解析式为Q(t)＝q(t)·[f(t)＋g(t)]
＝
21．(本小题满分12分)(2021·河北唐山一中期中)有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时5元；乙中心按月计费，一个月30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元．某人预备下个月从这两家选择一家进行健身活动，其活动不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在甲中心健身x小时的收费为f(x)元，在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元．试求f(x)和g(x)(15≤x≤40)；
(2)选择哪家比较合算？为什么？
[解析] (1)f(x)＝5x,15≤x≤40，
g(x)＝
(2)当5x＝90时，x＝18，
即当15≤x＜18时，f(x)＜g(x)，
当x＝18时，f(x)＝g(x)，
当18＜x≤40时，f(x)＞g(x)．
∴当15≤x＜18时，选甲家比较合算；
当x＝18时，两家一样合算；
当18＜x≤40时，选乙家比较合算．
22．(本小题满分12分)一片森林原来面积为a，方案每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为疼惜生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[分析] (1)依据10年的砍伐面积为原来的一半，列方程求解．
(2)依据到今年为止，森林剩余面积为原来的，列方程求解．
(3)求出第n年后森林剩余面积，依据森林面积至少要保留原面积的列不等式求解．
[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝.
解得x＝1－().
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则
a(1－x)m＝a，即()＝()，
＝，解得m＝5.
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开头，以后砍伐了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
()≥()，≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
[点评] 通过本题，重点强调高次方程、指数不等式的解法．对于高次方程应让同学明确，主要是开方运算；对于指数不等式，强调化为同底，应用指数函数的单调性求解，本题中化为同底是一大难点．
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