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第2讲 空间点、线、面之间的位置关系
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c________(填位置关系)．
解析 当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．
答案 平行、相交、异面都有可能
2．(2022·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是________．
解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．
答案 相交、平行或异面
3．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．
答案 1或4
4．假如两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．
解析 如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，由于各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排解两棱的重复计算，共有异面直线＝24(对)．
答案 24
5．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．
解析 如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．
答案 相交
6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，给出下列命题：①l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3；②l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3；③l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面；④l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面．其中正确命题的序号是________．
解析 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面或平行，故①不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故②正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故③不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点动身的三条棱，故④不正确．
答案 ②
7．(2022·深圳调研)两条异面直线在同一个平面上的正投影不行能是________(填序号)．
①两条相交直线；②两条平行直线；③两个点；④一条直线和直线外一点．
解析 如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点．
答案 ③
8. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(填序号)．
解析 A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．
答案 ③④
二、解答题
9. 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解 由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
10．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．
解 (1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4，
所以，四棱锥O－ABCD的体积V＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，
连接ME，DE，
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，
由已知，可得DE＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，
∴△DEM为直角三角形，
∴tan∠EMD＝＝＝.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
1．四棱锥P－ABCD的全部侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为________．
解析 由于四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.
在△PAB内，PB＝PA＝，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝＝＝.
答案
2. (2021·南京、盐城模拟)一个正方体的开放图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中：
①AB∥CD；②AB与CD相交；
③AB⊥CD；④AB与CD所成的角为60°.
其中正确的结论是________(填序号)．
解析 如图，把开放图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见①，②，③不正确．图2中，BE∥CD，∠ABE为AB与CD所成的角，△ABE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，∴④正确．
答案 ④
3．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上全部正确答案的序号)．
解析 图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．
答案 ②④
4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明 (1)连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，
∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA.
∴CE，D1F，DA三线共点.
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