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第3讲 直线、平面平行的判定与性质
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．若直线ɑ平行于平面α，给出以下结论：①ɑ平行于α内的全部直线；②α内有很多条直线与ɑ平行；③直线ɑ上的点到平面α的距离相等；④α内存在很多条直线与ɑ成90°角．其中错误的结论是________(填序号)．
解析 若直线ɑ平行于平面α，则α内既存在很多条直线与ɑ平行，也存在很多条直线与ɑ异面且垂直，所以①不正确，②，④正确，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以③正确．
答案 ①
2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是________(填序号)．
①AB∥CD；②AD∥CB；③AB与CD相交；④A，B，C，D四点共面．
解析 充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性明显成立．
答案 ④
3．(2021·常州监测)给出下列命题：
①若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线肯定平行于另一个平面；
②若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线肯定垂直于另一个平面；
③若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线肯定平行于另一个平面；
④若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线肯定垂直于另一个平面．
则其中全部真命题的序号为________．
解析 利用相关定理逐一推断．由面面平行的性质可知①正确；由线面垂直的性质可知②正确；若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线可能与另一个平面平行，也可能在另一个平面内，所以③错误；若两个平面垂直，那么其中一个平面内垂直于它们交线的直线肯定垂直于另一个平面，所以④错误．故真命题序号是①②.
答案 ①②
4．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，现给出以下结论：①BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形；②EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形；③HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形；④EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形．其中结论正确的序号是________．
解析 如图，由题意得EF∥BD，且EF＝BD.
HG∥BD，且HG＝BD.
∴EF∥HG，且EF≠HG.
∴四边形EFGH是梯形．
又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行．
答案 ②
5．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
解析 由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为.
答案
6．(2021·吉林九校联考)已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出以下命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；③若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中命题正确的是________(填序号)．
解析 对于①，m∥α，n∥α，则m与n可以平行，可以相交，可以异面，故①错误；对于②，由线面垂直的性质定理知，m∥n，故②正确；对于③，n可以平行β，也可以在β内，故③错；对于④，α与β可以相交，因此④错．
答案 ②
7. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析 由于直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，
所以EF∥AC，
又E是DA的中点，所以F是DC的中点，
由中位线定理可得EF＝AC，
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，
所以AC＝2，所以EF＝.
答案
8．(2022·金丽衢十二校联考)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.假如命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把全部正确的序号填上)．
解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
答案 ①或③
二、解答题
9．(2022·苏北四市模拟)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
求证：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)由于N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.
10．(2022·苏北四市调研)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求三棱锥E－BCD的体积．
(1)证明 如图，取BC中点G，连接AG，EG，又E是B1C的中点，
∴EG∥BB1，且EG＝BB1.
由直棱柱知，AA1綊BB1，而D是AA1的中点，∴EG綊AD，
∴四边形EGAD是平行四边形，
∴ED∥AG，又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，
∴DE∥平面ABC.
(2)解 ∵AD∥BB1，
∴AD∥平面BCE，
∴VE－BCD＝VD－BCE＝VA－BCE＝VE－ABC，
由(1)知，DE∥平面ABC，AG＝＝4，
∴VE－ABC＝VD－ABC＝AD·BC·AG＝×3×6×4＝12.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
1．(2021·广东七校联考)设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是________(填序号)．
①存在一条直线a，a∥α，a∥β；
②存在一条直线a，a⊂α，a∥β；
③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；
④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.
解析 对于①，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以①是α∥β的一个必要条件；同理，②也是α∥β的一个必要条件；易知③不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于④，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以④是α∥β的一个充分条件．
答案 ④
2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．
解析 对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②，③都不行以．
答案 ①④
3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1(请填上你认为正确的一个条件)．
解析 如图，连接FH，HN，FN，
由题意知HN∥面B1BDD1，
FH∥面B1BDD1.
且HN∩FH＝H，
∴面NHF∥面B1BDD1.
∴当M在线段HF上运动时，
有MN∥面B1BDD1.
答案 M∈线段HF
4．(2022·南京模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2.
(1)求五棱锥A′－BCDFE的体积；
(2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，请说明理由．
解 (1)连接AC，设AC∩EF＝H，连接A′H.
∵四边形ABCD是正方形，AE＝AF＝4，
∴H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH，
从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，又A′H∩CH＝H，
所以EF⊥平面A′HC，且EF⊂平面ABCD，
从而平面A′HC⊥平面ABCD，
过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，
则A′O⊥平面ABCD，
由于正方形ABCD的边长为6，AE＝AF＝4，
故A′H＝2，CH＝4，
所以cos∠A′HC＝＝＝，
所以HO＝A′H·cos∠A′HC＝，则A′O＝，
所以五棱锥A′－BCDFE的体积
V＝××＝.
(2)线段A′C上存在点M，使得BM∥平面A′EF，
此时A′M＝.
证明如下：
连接OM，BD，BM，DM，且易知BD过O点．
A′M＝＝A′C，HO＝HC，
所以OM∥A′H，又OM⊄平面A′EF，A′H⊂平面A′EF，
所以OM∥平面A′EF，
又BD∥EF，BD⊄平面A′EF，EF⊂平面A′EF，
所以BD∥平面A′EF，
又BD∩OM＝O，所以平面MBD∥平面A′EF，
由于BM⊂平面MBD，所以BM∥平面A′EF.
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