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第2讲 用样本估量总体
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·青岛检测)如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，样本质量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]，则样本质量落在[15,20]内的频数为 ( )
A．10 B.20
C．30 D.40
解析 由题意得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，所以样本质量在[15,20]内的频率为1－0.3－0.5＝0.2，频数为100×0.2＝20，故选B.
答案 B
2．(2021·西安检测)某班级有50名同学，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成果，五名男生的成果分别为86,94,88,92,90，五名女生的成果分别为88,93,93,88,93.下列说法中肯定正确的是 ( )
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成果的方差大于这五名女生成果的方差
D．该班级男生成果的平均数小于该班女生成果的平均数
解析 依题意，明显不能确定题中的抽样方法是属于哪种抽样，因此选项A，B均不正确；选项D，仅有5名男生，5名女生的数学成果，而不能得出该班男生成果的平均数小于该班女生成果的平均数；对于C，留意到将这五个男生与女生的成果均按由小到大排列，这五名男生的成果相对较为分散，因此这五名男生成果的方差大于这五名女生成果的方差，故选C.
答案 C
3.(2022·临沂一模)某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名同学参与数学竞赛，他们取得的成果(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班同学成果的众数是85，乙班同学成果的中位数是83，则x＋y的值为 ( )
A．7 B.8
C．9 D.10
解析 由茎叶图可知，甲班同学成果的众数是85，所以x＝5.乙班同学成果的中位数是83，所以y＝3，所以x＋y＝5＋3＝8.
答案 B
4．(2021·东北三省三校联考)在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 ( )
A．平均数 B.标准差
C．众数 D.中位数
解析 利用平均数、标准差、众数、中位数等统计特征数的概念求解．由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变，故选B.
答案 B
5．(2021·沈阳监测)某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参与笔试，再按笔试成果择优选出100人参与面试．现随机调查了24名笔试者的成果，如下表所示：
分数段
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90]
人数
2
3
4
9
5
1
据此估量允许参与面试的分数线大约是 ( )
A．75 B.80
C．85 D.90
解析 由于参与笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P＝＝，由于随机调查24名笔试者，则估量能够参与面试的人数为24×＝6，观看表格可知，分数在[80,85)有5人，分数在[85,90)的有1人，故面试的分数线大约为80分，故选B.
答案 B
二、填空题
6．(2022·甘肃诊断)如图是依据某赛季甲、乙两名篮球运动员参与11场竞赛的得分状况画出的茎叶图．若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a－b＝________.
解析 由茎叶图可知甲运动员的中位数为a＝19，乙运动员的众数为b＝11，所以a－b＝8.
答案 8
7．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为________．
解析 由题可知样本的平均值为1，所以＝1，解得a＝－1，所以样本的方差为[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
答案 2
8．(2021·银川检测)将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.
解析 ∵第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，∴前三组频数和为·n＝27，故n＝60.
答案 60
三、解答题
9．某校高一某班的某次数学测试成果(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：
(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．
解 (1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.
由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为＝25.
(2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为÷10＝0.016.
10．(2022·北京卷)从某校随机抽取100名同学，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18]
2
合计
100
(1)从该校随机选取一名同学，试估量这名同学该周课外阅读时间少于12小时的概率；
(2)求频率分布直方图中的a，b的值；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估量样本中的100名同学该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)．
解 (1)依据频数分布表知，100名同学中一周课外阅读时间不少于12小时的同学共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的同学一周课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9.故从该校随机选取一名同学，估量其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
(2)课外阅读时间落在组[4,6)内的有17人，频率为0.17，所以a＝＝＝0.085.
课外阅读时间落在组[8,10)内的有25人，频率为0.25，所以b＝＝＝0.125.
(3)样本中的100名同学该周课外阅读时间的平均数在第4组．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分状况如图所示．记甲、乙两人的平均得分分别为甲、乙，则下列推断正确的是 ( )
A.甲＜乙，甲比乙成果稳定
B.甲<乙，乙比甲成果稳定
C.甲>乙，甲比乙成果稳定
D.甲>乙，乙比甲成果稳定
解析 甲＝＝85，
乙＝＝86，
s＝[(76－85)2＋(77－85)2＋(88－85)2＋(90－85)2＋(94－85)2]＝52，
s＝[(75－86)2＋(88－86)2＋(86－86)2＋(88－86)2＋(93－86)2]＝35.6，
所以甲＜乙，s＞s，故乙比甲成果稳定．
答案 B
12．(2022·益阳模拟)为了了解某校九班级1 600名同学的体能状况，随机抽查了部分同学，测试1分钟仰卧起坐的成果(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，依据统计图的数据，下列结论错误的是 ( )
A．该校九班级同学1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次
B．该校九班级同学1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次
C．该校九班级同学1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人
D．该校九班级同学1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人
解析 由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次，1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估量该校九班级同学1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以该校九班级同学1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有160人．故D是错误的，选D.
答案 D
13．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，已知a2＝2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．
解析 ∵小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，且a2＝2a1，
∴样本的频率构成一个等比数列，且公比为2，
∴a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15a1＝1，∴a1＝，
∴小长方形面积最大的一组的频数为300×8a1＝160.
答案 160
14．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)依据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解 (1)设A药观测数据的平均数为A，B药观测数据的平均数为B，
则A＝(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)＝2.3.
B＝(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)＝1.6.则A>B，因此A药的疗效更好．
(2)由观测结果绘制如下茎叶图：
从茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”，“3.”上；B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上．
由上述可看出A药的疗效更好.
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