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第4讲 空间中的垂直关系
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不肯定成立的是 ( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
解析 如图所示，
AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不肯定成立，故选D.
答案 D
2．(2021·抚顺模拟)设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是( )
A．过a肯定存在平面β，使得β∥α
B．过a肯定存在平面β，使得β⊥α
C．在平面α内肯定不存在直线b，使得a⊥b
D．在平面α内肯定不存在直线b，使得a∥b
解析 当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必定垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．
答案 B
3. 如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么
( )
A．PA＝PB＞PC
B．PA＝PB＜PC
C．PA＝PB＝PC
D．PA≠PB≠PC
解析 ∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，
∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，
∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，
故PA＝PB＝PC.
答案 C
4．(2021·青岛质量检测)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是 ( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
解析 A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．
答案 C
5.(2021·深圳调研)如图，在四周体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析 由于AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.由于AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.
答案 C
二、填空题
6. 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
解析 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.
∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.
又AE⊥PB，AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．
答案 ①②③
7．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．
解析 ∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC)
8．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．
解析 如图，
∵P－ABC为正三棱锥，
∴PB⊥AC；
又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，
∴AC∥平面PDE.故①②正确．
答案 ①②
三、解答题
9.(2022·大连)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2AC＝2BC，D是棱AA1的中点，CD⊥B1D.
(1)证明：CD⊥B1C1；
(2)平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形，
由于D为AA1的中点，故DC＝DC1，
又AA1＝2A1C1，可得DC＋DC2＝CC，
所以CD⊥DC1，而CD⊥B1D，B1D∩C1D＝D，
所以CD⊥平面B1C1D，
由于B1C1⊂平面B1C1D，所以CD⊥B1C1.
(2)解 由(1)知B1C1⊥CD，且B1C1⊥C1C，
C1C∩CD＝C，则B1C1⊥平面ACC1A1，
设V1是平面CDB1上方部分的体积，V2是平面CDB1下方部分的体积，
则V1＝VB1－CDA1C1＝×S梯形CDA1C1×B1C1
＝×B1C＝B1C.
V总＝VABC－A1B1C1＝AC×BC×CC1＝B1C，
V2＝V总－V1＝B1C＝V1，
故＝1∶1.
10. 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)由于平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.
(2)由于AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形．
所以BE∥AD.
又由于BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)由于AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD.
所以PA⊥CD，又PA∩AD＝A.
所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.
又E，F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.
故CD⊥EF，由EF，BE⊂平面BEF，
且EF∩BE＝E.所以CD⊥平面BEF.
又CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
解析 由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．
答案 A
12．(2022·衡水中学模拟)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以下命题中，错误的命题是 ( )
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH垂直于平面CB1D1
C．AH延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成角为45°
解析 对于A，由于AA1＝AB＝AD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1，B，D的距离相等，即点H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故点H是△A1BD的垂心，命题A是真命题；对于B，由于B1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，而AH⊥平面A1BD，从而AH⊥平面CB1D1，命题B是真命题；对于C，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延长线经过点C1，命题C是真命题；对于D，由C知直线AH即是直线AC1，又直线AA1∥BB1，因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角，即∠A1AC1，而tan∠A1AC1＝＝，因此命题D是假命题．
答案 D
13．(2022·河南师大附中二模)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把全部正确的序号都填上)．
解析 由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，
又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．
答案 ①④
14．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EF⊥AC于点O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图2.
(1)求证：BD⊥平面POA；
(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BFED的体积．
(1)证明 由于菱形ABCD的对角线相互垂直，
所以BD⊥AC，所以BD⊥AO.
由于EF⊥AC，所以PO⊥EF.
由于平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO⊂平面PEF，
所以PO⊥平面ABFED.
由于BD⊂平面ABFED，所以PO⊥BD.
由于AO∩PO＝O，又BD⊥AO，所以BD⊥平面POA.
(2)解 设AO∩BD＝H，由于∠DAB＝60°，
所以△BDA为等边三角形，
故BD＝4，HB＝2，HA＝2.
设PO＝x，如图所示，连接OB，PH，
则OH＝2－x，OA＝4－x.
由OH⊥BD，则OB2＝OH2＋BH2＝(2－x)2＋22.
由(1)知，PO⊥平面BFED，则PO⊥OB，
所以PB＝＝＝
，
当x＝时，PBmin＝，此时PO＝.
所以当PB取得最小值时，V四棱锥P－BFED＝×S梯形BFED×PO＝××＝3.
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