2022届-数学一轮(理科)-人教B版-课时作业-第八章-立体几何-探究课五-.docx

(建议用时：75分钟)1. 如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明(1)如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)取AB中点为N，连接CN，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，(2，4，0)，(2，4，0)，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)(2，2，4)，(2，2，2)，(2，2，0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.，即B1FEF，B1FAF，又AFFEF，B1F平面AEF.2(2022山东卷)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值(1)证明图1由于四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC，又由M是AB的中点，因此CDMA且CDMA.连接AD1，如图1在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，由于CDC1D1，CDC1D1，可得C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此C1MD1A.又 C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.图2(2)解法一如图2，连接AC，MC，由(1)知CDAM且CDAM，所以四边形AMCD为平行四边形可得BCADMC，由题意ABCDAB60，所以MBC为正三角形，因此AB2BC2，CA，因此CACB.以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Cxyz.所以A(，0，0)，B(0，1，0)，D1(0，0，)因此M，所以1，.设平面C1D1M的法向量n(x，y，z)由得可得平面C1D1M的一个法向量是n(1，1)又(0，0，)为平面ABCD的一个法向量因此 cos ，n.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.法二图3由(1)知平面D1C1M平面ABCDAB，过C向AB引垂线交AB于N，连接D1N，如图3，由CD1平面ABCD，可得D1NAB，因此D1NC为二面角C1ABC的平面角在RtBNC中，BC1，NBC60，可得CN.所以ND1.在RtD1CN中， cos D1NC.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.3(2022新课标全国卷)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值(1)证明连接BC1，交B1C于点O，连接AO.由于侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点又ABB1C，ABBOB，所以B1C平面ABO，由于AO平面ABO，故B1CAO.又B1OCO，故ACAB1.(2)解由于ACAB1，且O为B1C的中点，所以AOCO.又由于ABBC，所以BOABOC.故OAOB，从而OA，OB，OB1两两相互垂直以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由于CBB160，所以CBB1为等边三角形又ABBC，OCOA，则A，B(1，0，0)，B1，C，(1，0)设n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则即所以可取n(1，)设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m(1，)，则 cos n，m.所以二面角AA1B1C1的余弦值为.4如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由(1)证明由于ACBC，DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又由于A1CCD，所以A1C平面BCDE.(2)解如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则A1(0，0，2)，D(0，2，0)，M(0，1，)，B(3，0，0)，E(2，2，0)设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.又(3，0，2)，(1，2，0)，所以令y1，则x2，z.所以n(2，1，)设CM与平面A1BE所成的角为，由于(0，1，)，所以 sin |cosn，|.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.(3)解线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p，0，0)，其中p0，3设平面A1DP的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0.又(0，2，2)，(p，2，0)，所以令x2，则yp，z.所以m(2，p，)平面A1DP平面A1BE，当且仅当mn0，即4pp0.解得p2，与p0，3冲突所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直5.(2022新课标全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为60，AP1，AD，求三棱锥EACD的体积(1)证明连接BD交AC于点O，连接EO.由于ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.又EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)解由于PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，0)，E，.设B(m，0，0)(m0)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1.又n2(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设| cosn1，n2|，即，解得m.由于E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V.6(2021烟台模拟)如图1，已知矩形ABCD中，AB2AD2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使DB，如图2.(1)求证：平面AOD平面ABCO；(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值图1图2(1)证明在矩形ABCD中，AB2AD2，O为CD的中点，AOD，BOC为等腰直角三角形，AOB90，即OBOA.取AO中点H，连接DH，BH，则OHDHAO.在RtBOH中，BH2BO2OH2，在BHD中，DH2BH23，又DB23.DH2BH2DB2，DHBH.又DHOA，OABHH，DH平面ABCO.而DH平面AOD，平面AOD平面ABCO.(2)解分别以OA，OB所在直线为x轴，y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0)，A(，0，0)，D，C(，0)，.设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，由得即xy，xz，令x1，则yz1，n(1，1，1)设为直线BC与平面ABD所成的角则 sin .即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为.