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第一章 1.1 1.1.2
一、选择题
1．(2022～2021学年度山西太原市高一上学期期中测试)已知集合A＝{x|x(x－2)＝0}，那么( )
A．0∈A B．2∉A
C．－2∈A D．0∉A
[答案] A
[解析] ∵A＝{x|x(x－2)＝0}＝{0,2}，∴0∈A,2∈A，－2∉A，故选A．
2．下列集合表示内容中，不同于另外三个的是( )
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}
C．{x|x－1＝0} D．{x＝1}
[答案] D
[解析] A、B、C三个选项表示的集合中含有一个元素1，而D选项中集合的表示法是错误的．
3．集合{x∈N|－1<x<}的另一种表示方法是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
[答案] C
[解析] ∵x∈N，－1<x<，
∴x＝0,1,2,3,4,5，故选C．
4．集合A＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] ∵A＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}，
∴x＝0，y＝0，或x＝0，y＝1，或x＝1，y＝0，
∴A＝{(0,0)，(0,1)，(1,0)}．
5．(2022～2021学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，则a的值是( )
A．0 B．
C．0或 D．－
[答案] C
[解析] 当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根，满足题意；当a≠0时，由题意得Δ＝(－3)2－8a＝0，∴a＝，故选C．
6．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3<x<11，x∈Q}
B．{x|－3<x<11}
C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N}
D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}
[答案] D
[解析] 选项A表示的是全部大于－3且小于11的有理数；选项B表示的是全部大于－3且小于11的实数；选项C表示的集合中不含有－2这个偶数，故选D．
二、填空题
7．用列举法表示下列集合：
(1)A＝{x∈N||x|≤2}＝________；
(2)B＝{x∈Z||x|≤2}＝________；
(3)C＝{(x，y)|x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z}＝________.
[答案] (1){0,1,2} (2){－2，－1,0,1,2}
(3){(2,0)，(－2,0)，(0,2)，(0，－2)}
[解析] (1)∵|x|≤2，∴－2≤x≤2，
又∵x∈N，∴x＝0,1,2，故A＝{0,1,2}．
(2)∵|x|≤2，∴－2≤x≤2，
又∵x∈Z，∴x＝－2，－1,0,1,2，
故B＝{－2，－1,0,1,2}．
(3)∵x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z，
∴x＝－2，y＝0，x＝2，y＝0，x＝0，y＝2，x＝0，y＝－2，
故C＝{(2,0)，(－2,0)，(0,2)，(0，－2)}．
8．设A、B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则A＋B中元素的个数为________．
[答案] 4
[解析] 当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；
当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；
当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.
所以，A＋B＝{3,4,5,6}，有4个元素．
三、解答题
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2>6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
[解析] (1)∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}．
(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}．
(3){x|x>8}．
(4){1,2,3,4,5,6}．
10．用适当方法表示下列集合：
(1)由全部非负奇数组成的集合；
(2)由全部小于10的奇数且又是质数的自然数组成的集合；
(3)平面直角坐标系中，不在x轴上的点的集合．
[解析] (1){x|x＝2n＋1，n∈N}．
(2){3,5,7}．
(3){(x，y)|x∈R，y∈R且y≠0}.
一、选择题
1．集合{y|y＝x，－1≤x≤1，x∈Z}用列举法表示是( )
A．{－1,0,1} B．{0,1}
C．{－1,0} D．{－1,1}
[答案] A
[解析] 集合中的元素是y，而y又是通过x来表示的，满足条件的x有－1,0,1，将全部相应的y值一一写到大括号中，便得到用列举法表示的集合．
2．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}，(A、B中x∈R，y∈R)．关于元素与集合关系的推断都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
[答案] C
[解析] 集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以选项A错．选项C阅历证正确．
3．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
[答案] D
[解析] x＝5，y＝1,2,3,4；x＝4，y＝1,2,3；x＝3，y＝1,2；x＝2，y＝1，共10个．
4．已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义集合A、B间的运算A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，则集合A*B等于( )
A．{1,2,3} B．{2,3}
C．{1,3} D．{2}
[答案] C
[解析] ∵A*B为全部属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合，
∴只要找到集合A中的元素，然后从中除去属于集合B的元素即可．
∵属于集合A的元素是1,2,3，但2属于集合B，故要去掉．
∴A*B＝{1,3}，故选C．
二、填空题
5．集合可用特征性质描述法表示为__________．
[答案] {x|x＝，n∈N＋，n≤5}
[解析] 将分母改写为连续自然数，考虑分子与分母间的关系.、、、、，可得，n∈N＋，n≤5.
6．若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝____________.
[答案] {2 000,2 001,2 004}
[解析] 由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001，2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}．
三、解答题
7．(1)用描述法表示图中阴影部分(不含边界)的点构成的集合；
(2)用图形表示不等式组的解集．
[解析] (1){(x，y)|0<x<2,0<y<1}．
(2)由，得.
用图形可表示为：
8．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}，若A中元素最多只有一个，求a的取值范围．
[解析] 当a＝0时，原方程为－3x＋1＝0，x＝，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋1＝0为一元二次方程，
由题意得Δ＝9－4a≤0，∴a≥.
即当a≥时，方程有两个相等的实数根或无实根，
综上所述，a的取值范围为a＝0或a≥.
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