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第一章 1.1 1.1.1
一、选择题
1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5
C． D．
[答案] D
[解析] ∵是实数，但不是有理数，∴选D．
2．集合A中的元素为全部小于1的数，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－3∉A
[答案] C
[解析] ∵集合A中的元素为全部小于1的数，
∴3∉A,1∉A,0∈A，－3∈A，故选C．
3．设x∈N，且∈N，则x的值可能是( )
A．0 B．1
C．－1 D．0或1
[答案] B
[解析] ∵－1∉N，∴排解C；0∈N，而无意义，排解A、D，故选B．
4．若集合A含有两个元素0,1，则( )
A．1∉A B．0∈A
C．0∉A D．2∈A
[答案] B
[解析] ∵集合A含有两个元素0,1，∴0∈A,1∈A，故选B．
5．正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是( )
A．整数集合 B．有理数集合
C．自然数集合 D．以上说法都不对
[答案] D
[解析] 正整数集合与负整数集合合并在一起，由于不包括0，所以A、B、C都不对，故选D．
6．给出以下关系式：①∈R；②2.5∈Q；③0∈∅；④－∉N.其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] ①、②、④正确；③错，由于空集不含任何元素，故选C．
二、填空题
7．对于自然数集N，若a∈N，b∈N，则a＋b________N，ab________N.
[答案] ∈ ∈
[解析] ∵a∈N，b∈N，∴a、b是自然数，
∴a＋b，ab也是自然数，∴a＋b∈N，ab∈N.
8．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝________.
[答案] －1
[解析] ∵x2∈A，∴x2＝1，或x2＝0，或x2＝x.
∴x＝±1，或x＝0.
当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互异性，
∴x＝－1.
三、解答题
9．若全部形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，推断－6＋2是不是集合A中的元素．
[解析] 是．理由如下：由于在3a＋b(a∈Z，b∈Z)中，令a＝－2，b＝2，即可得到－6＋2，所以－6＋2是集合A中的元素．
10．设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：①1∉S；②若a∈S，则∈S.
请回答下列问题：
(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；
(2)求证：若a∈S，则1－∈S；
(3)在集合S中，元素能否只有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由．
[解析] (1)∵2∈S,2≠1，∴＝－1∈S.
∵－1∈S，－1≠1，∴＝∈S.
∵∈S，≠1，∴＝2∈S.
∴集合S中的另外两个数为－1和.
(2)∵a∈S，∴∈S，∴∈S，
即＝＝1－∈S(a≠0)．
若a＝0，则＝1∈S，不合题意．∴a＝0∉S.
∴若a∈S，则1－∈S.
(3)集合S中的元素不能只有一个．
证明如下：假设集合S中只有一个元素a，
则依据题意，知a＝，即a2－a＋1＝0.
此方程无实数解，所以a≠.
因此集合S不能只有一个元素.
一、选择题
1．下列命题中正确命题的个数为( )
①N中最小的元素是1；
②若a∈N，则－a∉N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] 自然数集中最小的元素是0，故①、③不正确；对于②，若a＝0时，即0是自然数，－0仍为自然数，所以②也不正确，故选A．
2．由a，a，b，b，a2，b2构成的集合M中元素的个数最多是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
[答案] C
[解析] 由集合中元素的互异性可知，选C．
3．已知x、y、z为非零实数，代数式＋＋＋的值所构成的集合是M，则下列推断正确的是( )
A．0∉M B．2∈M
C．－4∉M D．4∈M
[答案] D
[解析] 当x，y，z的值都大于0时，代数式的值为4，
∴4∈M，故选D．
4．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
[答案] B
[解析] ∵a∈A，∴当a＝2时，6－a＝4，
∴6－a∈A；当a＝4时，6－a＝2，
∴6－a∈A；当a＝6时，6－a＝0，
∴6－a∉A，故a＝2或4.
二、填空题
5．已知集合M含有三个元素1,2，x2，则x的值为______________．
[答案] x≠±1，且x≠±
[解析] 依据元素的互异性知x2≠1，且x2≠2，
∴x≠±1，且x≠±.
6．若∈A，且集合A中只含有一个元素a，则a的值为________．
[答案] －1±
[解析] 由题意，得＝a，
∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1±.
三、解答题
7．已知集合A中含有三个元素m－1,3m，m2－1，若－1∈A，求实数m的值．
[解析] 当m－1＝－1时，m＝0,3m＝0，m2－1＝－1，
不满足集合中元素的互异性．
当3m＝－1时，m＝－，m－1＝－，m2－1＝－，符合题意．
当m2－1＝－1时，m＝0，m－1＝－1,3m＝0，
不满足集合中元素的互异性．
综上可知实数m的值为－.
8．某争辩性学习小组共有8位同学，记他们的学号分别为1,2,3，…，8.现指导老师打算派某些同学去市图书馆查询有关数据，分派的原则为：若x号同学去，则8－x号同学也去．请你依据老师的要求回答下列问题：
(1)若只有一个名额，请问应当派谁去？
(2)若有两个名额，则有多少种分派方法？
[解析] 本题实质是考查集合中元素的特性，只有一个名额等价于x＝8－x，有两个名额则为x和8－x.
(1)分派去图书馆查数据的全部同学构成一个集合，记作M，则有x∈M,8－x∈M.
若只有一个名额，即M中只有一个元素，必需满足x＝8－x，故x＝4，所以应当派学号为4的同学去．
(2)若有两个名额，即M中有且仅有两个不同的元素x和8－x，从而全部含有两个元素的集合M应含有1,7或2,6或3,5.也就是有两个名额的分派方法有3种．
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