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第一章 1.1 1.1.1
基础巩固
一、选择题
1．在“①高一数学中的难题；②全部的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是( )
A．② B．③
C．②③ D．①②③
[答案] C
[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.
2．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝＋，则a与集合A的关系是( )
A．a∈A B．a∉A
C．a＝A D．{a}∈A
[答案] A
[解析] 由于＋＜10，所以a∈A.
3．(2021·山东临沂检测)集合{x∈N*|x－2＜3}的另一种表示形式是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
[答案] B
[解析] 由x－2＜3，得x＜5，又x∈N*，所以x＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．
4．方程组的解集是( )
A.
B．{x，y|x＝3且y＝－7}
C．{3，－7}
D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}
[答案] D
[解析] 解方程组得，
用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D.
5．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC确定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
[答案] D
[解析] 由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D.
6．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0或2或3
[答案] B
[解析] 由于2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的全部取值进行一一检验可得m＝3，故选B.
二、填空题
7．用符号∈与∉填空：
(1)0________N*；________Z；
0________N；(－1)0________N*；
＋2________Q；________Q.
(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}；
(2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}．
(3)若a2＝3，则a________R，若a2＝－1，则a________R.
[答案] (1)∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ ∉ (3)∈ ∉
[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很简洁辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；由于坐标挨次不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．
8．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.
[答案] 2
[解析] 明显a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2.
三、解答题
9．已知集合A含有a－2,2a2＋5a,12三个元素，且－3∈A，求a的值．
[解析] ∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴a＝－1舍去．
当a＝－时，经检验，符合题意．故a＝－.
[留意] (1)分类争辩意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类争辩的意识，如本例依据元素－3与a－2,2a2＋5a,12的关系分类 ，即可做到不重不漏．
(2)留意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．
10．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A是单元素集合，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
[分析] 将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要留意方程ax2－3x＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．
[解析] (1)由于集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤.
[点评] “a＝0”这种状况简洁被忽视，如“方程ax2＋2x＋1＝0”有两种状况：一是“a＝0”，即它是一元一次方程；二是“a≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种状况下，才能用判别式“Δ”来解决．
力气提升
一、选择题
1．(2021·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
[答案] B
[解析] {x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.
2．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；
⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．
能表示方程组的解集的是( )
A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤
C．②⑤ D．②⑤⑥
[答案] C
[解析] 方程组的解是故选C.
3．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列推断正确的是( )
A．0∉M B．2∈M
C．－4∉M D．4∈M
[答案] D
[解析] 当x＞0，y＞0，z＞0时，代数式的值为4，所以4∈M，故选D.
4．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] B
[解析] 当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．
二、填空题
5．已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是________．
[答案] {k|5＜k≤6}
[解析] x只能取3,4,5，故5＜k≤6.
6．(2021·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{∈Z|x∈Z}＝________.
[答案] {－3，－1,1,3}
[解析] ∵∈Z，x∈Z，
∴3－x为3的因数．
∴3－x＝±1，或3－x＝±3.
∴＝±3，或＝±1.
∴－3，－1,1,3满足题意．
三、解答题
7．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素．
[分析] 已知a∈A，∈A，将a＝代入即可求得集合中的另一个元素，依次，可得集合中的其他元素．
[解析] ∵∈A，∴＝2∈A，∴＝－3∈A，
∴＝－∈A，∴＝∈A.
故当∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－.
8．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”．
(1)推断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；
(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．
[解析] (1)由于2的倒数为不在集合A中，故集合A不是可倒数集．
(2)若a∈A，则必有∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝，即a＝±1，故可以取集合A＝{1,2，}或{－1,2，}或{1,3，}等．
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