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【名师面对面】2022届数学一轮学问点讲座：考点1 集合
加（*）号的学问点为了解内容，供学有余力的同学学习使用
一、考纲目标
了解集合的含义、元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、列举法或描述法描述不同的具体问题；理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体问题中，了解全集与空集的含义；了解交、并、补的含义，会进行集合间的简洁的应用；能使用韦恩图表达集合的关系及运算
二、学问梳理
1.定义：所争辩对象的全体形成一个集合
2.特征：确定性、互异性、无序性.
3.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图
4.分类：有限集、无限集.
5.数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集φ.
6.关系：属于∈、不属于、包含于、真包含于、集合相等＝.
7.运算：
交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};
补运算＝{x|xA且x∈U}，U为全集
8.性质：
AA； φA； 若AB，BC，则AC；
A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A；
A∩B＝AA∪B＝BAB；
A∩CA＝φ； A∪CA＝I；C( CA)＝A；
C(AB)＝(CA)∩(CB).
9.方法：韦恩示意图, 数轴分析.
10.留意：
① 区分∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② AB时，A有两种状况：A＝φ与A≠φ.
③若集合A中有n个元素，则集合A的全部不同的子集个数为，全部真子集的个数是-1, 全部非空真子集的个数是.
④区分集合中元素的形式：如；；；；；；.
⑤空集是指不含任何元素的集合.、和的区分；0与三者间的关系.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.条件为，在争辩的时候不要遗忘了的状况.
⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系 .
三、考点逐个突破
1.集合的概念
例1.已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，求实数a的值．
解：若a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{1,0,1}不满足互异性，舍去．
若(a＋1)2＝1，则a＝0或－2，
当a＝0时，此时A＝{2,1,3}，
当a＝－2时，此时A＝{0,1,1}不满足互异性，舍去．
若a2＋3a＋3＝1，
则a＝－1(舍去)或a＝－2(舍去)，
综上可知a＝0.
例2.某班共30人，其中15人宠爱篮球运动，10人宠爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不宠爱，则宠爱篮球运动但不宠爱乒乓球运动的人数为_12__
【答案】：12
【解析】设两者都宠爱的人数为人，则只宠爱篮球的有人，只宠爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即所求人数为12人.
2.集合间的基本关系
例3.设集合，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简洁的不等式的解法. 属于基础学问、基本运算的考
查.
∵，
∴ ，故选A.
3.集合的基本运算
例4.若集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x－m<0}．
(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁UB)；
(2)若A∩B＝Ø，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
[思路点拨](1)分别求出集合A、B，利用数轴分析．
(2)A∩B＝A转化为A⊆B.
解：(1)由x2－2x－8<0，得－2<x<4，
∴A＝{x|－2<x<4}．
当m＝3时，由x－m<0，得x<3，
∴B＝{x|x<3}，
∴U＝A∪B＝{x|x<4}，∁UB＝{x|3≤x<4}．
∴A∩(∁UB)＝{x|3≤x<4}．
(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，
又A∩B＝Ø，∴m≤－2.
(3)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，
由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.
4.集合创新题
例5．设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：①若m＝1，则S＝{1}；②若m＝－，则≤l≤1；③若l＝，则－≤m≤0.其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由题意知，对①，若m＝1，则S＝{x|1≤x ≤l}．当x∈{x|1≤x≤l}，x2∈{x|1≤x≤l2}，则l＝l2解得l＝1，故①正确；对②，若m＝－，则S＝{x|－≤x≤l}，当x∈{x|－≤x≤l}时，分类争辩：当－<l<时，有0≤x2≤，∃∉S；当l≥时，0≤x2≤l2，要使x2∈S，则l2≤l，解得≤l≤1.故②正确；对③，若l＝，则S＝
{x|m≤x≤}．当x∈{x|m≤x≤}时，分类争辩：m>0时，m2≤x2≤，要使x2∈S，则m2≥m，解得m≥1(舍去)或m≤0(舍去)； m<－时，m2>即0≤x2≤m2，∃∉S；－≤m≤0时，0≤x2≤，则x2∈S.故③正确．
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