基本不等式题型归纳教学内容.doc

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基本不等式题型归纳
【重点知识梳理】
1．基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：，．
（2）等号成立的条件：当且仅当时，等号成立．
2．几个重要的不等式：（1）（）； （2）（）；
（3）（）； （4）（）．
3．算术平均数与几何平均数
设，，则的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知，，则
（1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值是．（简记：积定和最小）
（2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是．（简记：和定积最大）
题型一览
1、已知，，且，则的最大值为，则的最小值为；
2、已知，则的最小值为
3、设，则函数的最大值为
4、若，则的最小值为；若，则的最大值为
5、若 ，则的最小值为；若 ，则的最大值为
若函数在 处有最小值，则
6、已知，且，则（）的最小值为，此时的值分别是
7、已知，，（或），则的最小值为
8、已知，如果不等式恒成立，那么的最大值等于
9、几个分式的变形：
（1）若，则函数的最小值是
（2）已知 ，则函数 的最小值为
（3）函数的最小值为
分析：变形得，
当且仅当，即时取等号， 故函数的最小值为
（4）已知，，则的取值范围是
解：
（5）设（）， 则的最大值为；
（6）已知，则的最小值是
（7）已知都是负实数，则的最小值是
解：，
，
10、（1）已知非负实数满足，则的最小值为
分析：因为 ，所以 ，即，
因为非负实数，所以 ，
所以

当且仅当，即，时取等号，所以 的最小值为
（2）已知实数满足，则的最小值为
解：【法一】由题知，则

【法二】令，（）
则，，
由，可得，
则，
当且仅当时，等号成立
11、（1）已知均为正实数，且，则的最小值为
解：因为均为正实数，所以，可化为，即，所以故当且仅当时，取得最小值
（2）已知均为正实数，，则的最小值为
解：因为均为正实数，所以，
12、（1）若正实数满足，则的最大值是
解：由，得， ，
解得，得最大值为
（2）设为实数，若，则的最大值是
解：由得

则
13、若且，使不等式恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D． 
分析：由，， 得．
又由，∴，选．
14、 若 ，且 ，则下列不等式恒成立的是（     ）
A． B． C． D．
分析：因为，利用基本不等式有，当且仅当时等号成立，错；由得，，错；，当且仅当时，等号成立，正确；，当且仅当时等号成立，错；综上可知，选．
15、设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为
A． B． C． D． 
答案：由得，
则，当且仅当时等号成立，此时
．
16、（2013天津理14）设，，则当_____时，取得最小值．
解：因为，所以
，
当时，，；
当时，，，当且仅当时等号成立．
因为，所以原式取最小值时.
又，所以时，原式取得最小值．

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