2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-8-3-Word版含解析.docx

构造模型推断空间线面位置关系
[典例]　(2022·江门模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中全部正确的命题是(　　)
A．①④　　　　　　　　　 B．②④
C．① D．④
[审题视角]　推断空间线面的位置关系，常利用正(长)方体及其他几何体模型来推断，把平面、直线看作正(长)方体内及其它几何体平面、侧棱、对角线等进行推导验证，使抽象的推理形象具体化．
[解析]　我们借助于长方体模型来解决本题．对于①，可以得到平面α，β相互垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，由于n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，由于m⊥g，所以m⊥n.

[答案]　A

由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系，故构造长方体或正方体来推断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易推断．削减了抽象性与空间想象，构造时留意其机敏性，想象各种状况反复验证．

1．如图是某个正方体的侧面开放图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2(　　)

A．相互平行 B．异面且相互垂直
C．异面且夹角为 D．相交且夹角为
解析：

将侧面开放图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合．故l1与l2相交，连接AD，△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为.故选D.
答案：D
2．(2022·浙江)设l是直线，α，β是两个不同的平面(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：A选项中由l∥α，l∥β不能确定α与β的位置关系，C选项中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或lβ，D选项由α⊥β，l∥α不能确定l与β的位置关系．
答案：B