资源描述
三角函数
一、选择题.（每小题5分，共50分）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 下列角中终边与 330° 相同的角是（ ）
A. 30° B. - 30° C. 630° D. - 630°
3. 函数y =++的值域是（ ）
A. {1} B. {1，3} C. {- 1} D. {- 1，3}
4. 假如 = - 5，那么tan α的值为（ ）
A. -2 B. 2 C. D. -
5. 假如 sin α + cos α =，那么 sin3 α – cos3 α 的值为（ ）
A. B. - C. 或- D. 以上全错
6. 若 a为常数，且a＞1，0≤x≤2π，则函数f(x)= cos2 x + 2asin x - 1的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数y = sin的单调增区间是（ ）
A. ，k∈Z B. ，k∈Z
C. ，k∈Z D. ，k∈Z
8. 若函数y = f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x轴向左平移个单位；沿y轴向下平移1个单位，得到函数y =sin x的图象；则函数 y = f(x)是（ ）
A. y = B. y =
C. y = D. y =
9. 如图是函数y = 2sin(ωx + φ)，φ＜的图象，那么（ ）
A. ω = ，φ = B. ω = ，φ = -
(第9题)
C. ω = 2，φ = D. ω = 2，φ = -
10. 假如函数 f(x)是定义在(-3，3)上的奇函数，当0＜x＜3时，函数 f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x＜0的解集是（ ）
A.∪(0，1)∪
B.∪(0，1)∪
C.(- 3，- 1)∪(0，1)∪(1，3)
(第10题)
D.∪(0，1)∪(1，3)
二、填空题. （每小题5分，共30分）
11. 若，那么的值为 .
12. 若扇形的半径为R，所对圆心角为，扇形的周长为定值c，则这个扇形的最大面积为___.
13. 若 sin θ =，cos θ =，则m =___.
14. 若 cos(75° + α)=，其中α为第三象限角，则cos(105° - α)+ sin(α - 105°)= ___.
15. 函数y = lg (sin x) +的定义域为 .
16. 关于函数f(x)= 4 sin(x∈R)，有下列命题：
①函数 y = f(x)的表达式可改写为y = 4cos(2x - )；
②函数 y = f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③函数 y = f(x)的图象关于点对称；
④函数 y = f(x)的图象关于直线x = - 对称.
其中正确的是___.
答题卷
一、选择题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题.
11、 12、
13、 14、
15、 16、
三、解答题.（共70分）
17. （12分）已知角α是第三象限角，
求：（1）角是第几象限的角；（2）角2α终边的位置.
18.（16分）(1)已知角α的终边经过点P(4，- 3)，求2sin α + cos α的值；
(2)已知角α的终边经过点P(4a，- 3a)(a≠0)，求 2sin α + cos α的值；
(3)已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3 : 4，求2sin α + cos α的值.
19. （12分）已知tan α，是关于x的方程 x2 - kx + k2 - 3 = 0的两实根，
且3π＜α＜π，求cos(3π + α)- sin(π + α)的值.
20. （14分）已知0≤x≤，求函数y = cos2 x - 2a cos x的最大值M(a)与最小值m(a).
21. （16分）某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元. 该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元.
（1）试分别建立出厂价格、销售价格的模型，并分别求出函数解析式;
（2）假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数；
(3) 求该商店月利润的最大值.
参考答案
一、选择题.
1. A
【解析】=.
2. B
【解析】与 330° 终边相同的角为{α|α = 330° + k ∙ 360°，k∈Z}.
当 k = - 1时，α = - 30°.
3. D
【解析】将x分为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限四种状况分别争辩，可知值域为{- 1，3}.
4. D
【解析】∵ sinα - 2cos α = - 5(3sin α + 5cos α)，
∴ 16sin α = - 23cos α，∴ tan α = -.
5. C
【解析】由已知易得 sin α cos α = -.
∴ |sin3 α - cos3 α| = |(sin α- cos α)(sin2 α + cos2 α + sin α cos α)|
= ∙ |1 + sin α cos α| = .
∴ sin3 α - cos3 α = ±.
6. B
【解析】f(x)= 1 - sin2 x + 2asin x - 1
= - sin2 x + 2asin x.
令sin x = t，∴ t∈[-1，1].
∴ f(t)= - t2 + 2at = -(t - a)2 + a2，t∈[-1，1].
∴ 当t = 1时，函数 f(t)取最大值为2a - 1.
7. D
【解析】∵ y = sin(- 2x)= - sin(2x -)，∴ + 2kπ ≤ 2x -≤+ 2kπ，
∴ + kπ ≤ x ≤+ kπ.
8. B
9. C
10. B
二、填空题.
11. -1
【解析】=
12. .
【解析】设扇形面积为S，弧长为l .
∴ S = lR = (c-2R)· R = -R2 +cR.
∴ 0＜R＜.
当 R = 时，Smax =.
13. 0或8；
【解析】sin2 θ +cos2 θ = 1，
∴ (m - 3)2 +(4 - 2m)2 =(m + 5)2，
m = 0，或m = 8.
14. .
【解析】cos(105º - α)+ sin(α - 105º)
= - cos(75º + α)- sin(α + 75º).
∵ 180º＜α＜270º，∴ 255º＜α + 75º＜345º.
又 cos(α + 75º)=，∴ sin(α + 75º)= -.
∴ 原式 =.
15. [- 4，- π)∪(0，π).
【解析】由已知得
∴ x∈[- 4，- π)∪(0，π).
16. ①③.
【解析】① f(x)= 4sin= 4cos
= 4cos
= 4cos.
② T == π，最小正周期为π.
③ ∵ 2x += kπ，当 k = 0时，x =，
∴ 函数 f(x)关于点对称.
④ 2x += kπ +，当 x = -时，k =，与 k∈Z 冲突.
∴ ①③正确.
三、解答题.
17.【解】(1)由2kπ + π＜α＜2kπ +π，k∈Z，
得kπ +＜＜kπ +π，k∈Z.
将整数 k 分奇数和偶数进行争辩，易得角为其次象限或第四象限的角.
(2)由2kπ + π＜α＜2kπ +π，k∈Z，
得4kπ + 2π＜2α＜4kπ + 3π，k∈Z.
∴ 2α终边位置可能在第一象限、其次象限或y轴的非负半轴.
18.【解】(1)∵ = 5，
∴ sin α =，cos α =，
∴ 2sin α + cos α =.
(2)∵ ，
∴ 当 α＞0时，∴ r = 5a，sin α =，cos α =
∴ 2sin α + cos α =；
当 a＜0时，∴ r = -5a，sin α =，cos α = -，
∴ 2sin α + cos α =.
(3)当点P在第一象限时， sin α =，cos α =，2sin α + cos α = 2；
当点P在其次象限时， sin α =，cos α =，2sin α + cos α =；
当点P在第三象限时，sin α =，cos α =，2sin α + cos α = - 2；
当点P在第四象限时，sin α =，cos α =，2sin α + cos α =.
19.【解】由已知得 tan α = k2 - 3=1，
∴ k =±2.
又 ∵ 3π＜α＜π，∴ tan α＞0，＞0.
∴ tan α += k = 2＞0 (k = -2舍去),
∴ tan α == 1,
∴ sin α = cos α = -,
∴ cos(3π +α) - sin(π +α) = sin α - cos α = 0.
20.【解】y = cos2 x - 2a cos x = (cos x -a)2 - a2，
令 cosx = t，
∵ 0≤x≤，
∴ t∈[0，1].
∴ 原函数可化为f(t) = (t - a)2 - a2，t∈[0，1].
①当 a＜0 时，M(a) = f(1) = 1 – 2a，m(a) = f(0) = 0.
②当 0≤a＜ 时，M(a) = f(1) = 1 – 2a，m(a) = f(a) = –a2.
③当 ≤a≤1 时，M(a) = f(0) = 0，m(a) = f(a) = –a2.
④当 a＞1 时，M(a) = f(0) = 0，m(a) = f(1) = 1–2a.
21. 【解】
分别令厂价格、销售价格的函数解析式为
厂价格函数： ,
销售价格函数：,
由题意得：；,；
；
；
∴；
把x=3,y=8代入得
把x=5,y=10代入得
∴；
（2）、
=
（3）、当时y取到最大值，C
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